Integrály v kinematice Autor: RNDr.Zdeňka Strouhalová Fyzika, seminář z fyziky Inovace výuky na Gymnáziu Otrokovice formou DUMů CZ.1.07/1.5.00/
2 Derivace funkce Definice derivace funkce Funkce f je definována v určitém okolí bodu x 0. Derivací funkce nazýváme limitu Používané zápisy derivace Derivaci funkce můžeme považovat za funkci. Jestliže určíme její derivaci, je tato derivace druhou derivací původní funkce, označujeme ji f´´(x).
Primitivní funkce – neurčitý integrál Funkce F a f jsou definovány v otevřeném intervalu J. Jestliže pro každé x z tohoto intervalu platí, že F´(x) = f(x), je funkce F primitivní funkcí k funkci f v intervalu J. Je-li funkce F v intervalu J primitivní funkcí k funkci f, pak každá primitivní funkce k funkci f je tvaru F(x) + C, kde C je reálná konstanta. Integrování je postup, při kterém určujeme primitivní funkci F(x) + C. Užíváme zápis Symbol se nazývá neurčitý integrál Výsledky integrování funkcí ověřujeme derivováním.
Kinematika hmotného bodu s = s(t)C = 0 v = s´(t)v = gtC = 0 a= v´(t) = s´´(t)a = g=konst. Budeme uvažovat přímočarý pohyb Funkcí času jsou : dráha – př. s = 4t okamžitá rychlost - př. v = gt, zrychlení - př. a = 5t Využijeme-li derivací a integrování můžeme vytvořit tabulku, jako příklad přímočarého pohybu je uveden volný pád Integrační konstantu určíme ze zvolených počátečních podmínek. Př. volný pád – po integrování v = gt + C, pro t = 0 je v = 0, proto C =0
5 Příklady Kmitavý pohyb Je dáno okamžité zrychlení a = - ω 2 y Ověřte, že platí v = v m cosωt, je-li y = y m sinωt Určete pomocí neurčitého integrálu vztah pro výpočet velikosti okamžité rychlosti a dráhy. Jaký fyzikální význam mají integrační konstanty ? 1.a = 5 ms -2 2.a = 3 + t 3.a = 2t
6 Použité zdroje LEPIL Oldřich. Fyzika pro gymnázia: Mechanické kmitání a vlnění. Praha: Prometheus, 1994, 135 s. ISBN BEDNAŘÍK, Milan a Miroslava ŠIROKÁ. Fyzika pro gymnázia. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2007, 288 s. ISBN HRUBÝ, Dag a Josef KUBÁT. Matematika pro gymnázia: diferenciální a integrální počet. 2., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 210 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN března 2013