O metodě konečných prvků Lect_10.ppt M. Okrouhlík Ústav termomechaniky, AV ČR, Praha Liberec, 2010 Transient tasks Šíření napěťových vln

1D wave equation

Wave equation 2D - plane stress S … shearP … primary Longitudinal dilatational irrotational extension Transversal shear rotational distortion equivolumetrical

2D plane strain and 3D P … primary Within the scope of linear theory of elasticity, P and S waves are uncoupled.

2D wave fronts - Huygen’s principle

Wave equation on the surface Rayleigh waves

Typical values for steel in m/s For E = 2.1e11 Pa, r = 7800 kgm^-3, m = 0.3

Podélný čelní ráz válcových tyčí Snaha vysvětlit existenci tahového napětí ve směru kolmém na osu a doprovázeného tlakovým napětím ve směru rázu, které vede k velkým smykovým napětím v blízkosti podélné osy symetrie, vyvolávajícím poškození materiálu – potvrzeném experimentálně v laboratoři prof. A. Farlíka v Brně.

Valeš – příčný ráz na tenký pás Na této úloze ukážeme metodiku v té době používaných analytických postupů. Na pohybové rovnice je nejprve aplikována Fourierova transformace v prostoru, pak Laplaceova transformace v čase. Následuje inverzní transformace, která vede na nekonečné řady nevlastních integrálů.

Například pro složku napětí vychází

Bezrozměrové polohové proměnné integrandu a integrační proměnná jsou vázány disperzními vztahy. Jsou to dvě transcendentní rovnice, jejichž kořeny je nutno vypočíst před integrací samou.

Prvních 35 větví disperzních závislostí pro úlohu rázu na tenký pás Kořeny se hledaly metodou půlení intervalu. Před vlastní integrací, která se prováděla jednotřetinovou Simpsonovou metodou, bylo třeba stanovit integrační obor konvergence. Výpočty byly naprogramovány v Algolu. Ing. F. Valeš

Srovnání s výsledky získanými metodou fyzikální diskretizace 6000 obyč. dif. rovnic, Runge-Kutta, CDC 6600, M. Okrouhlík, F. Valeš

Elastic waves and finite elements Finite element semidiscretization Mass matrix formulation –consistent –diagonal (lumped) Time discretization … integration in time –explicitcentral differences –implicitNewmark family, Houbolt

P waves S waves R waves

Infinite speed of propagation in FE analysis

Axially loaded long, thin tube – surface strains

Strains, displacements, velocities and accelerations along the length of the rod for t = 0.2. Consistent mass matrix. Newmark vs. central differences

Let’s have a closer look at displacements … consistent mass matrix Full floating point range 3 orders only

Strains, displacements, velocities and accelerations along the length of the rod for t = 0.2. Diagonal mass matrix. Newmark vs. central differences

Again, a closer look at displacements … diagonal mass matrix pure zero

In FE analysis we have