Vzájemná poloha přímek daných obecnou rovnicí Název projektu: Moderní škola Vzájemná poloha přímek daných obecnou rovnicí Mgr. Martin Krajíc   14.4.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Vzájemná poloha přímek vzájemná poloha dvou přímek v rovině různoběžné … jeden společný bod (průsečík) rovnoběžné – totožné … všechny body společné různé … žádný společný bod

Vzájemná poloha přímek dány obecné rovnice přímek p, q: p: ax + by + c = 0 q: a´x + b´y + c´ = 0 vypočteme podíly odpovídajících si koeficientů přímek: k1 = k2 = k3 = přímky jsou rovnoběžné totožné: k1 = k2 = k3 přímky jsou rovnoběžné různé: k1 = k2 ≠ k3 přímky jsou různoběžné: k1 ≠ k2

Vzájemná poloha přímek Průsečík přímek: z obecných rovnic obou přímek sestavíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých získané hodnoty x, y nám určují souřadnice průsečíku

Vzájemná poloha přímek Př: Určete vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných určete souřadnice průsečíku. p: -6x + 14y – 4 = 0 q: 3x – 7y + 2 = 0 k1 = -6 : 3 = -2 k2 = 14 : (-7) = -2 k3 = -4 : 2 = -2 k1 = k2 = k3 přímky jsou rovnoběžné totožné

Vzájemná poloha přímek p: 6x – 21y – 9 = 0 q: 4x – 14y + 6 = 0 k1 = 6 : 4 = 1,5 k2 = -21 : (-14) = 1,5 k3 = -9 : 6 = -1,5 k1 = k2 ≠ k3 přímky jsou rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímek Průsečík: x + y – 5 = 0 /.3 2x – 3y + 5 = 0 3x + 3y – 15 = 0 5x – 10 = 0 x = 2 x + y – 5 = 0 2 + y – 5 = 0 y = 3 p: x + y – 5 = 0 q: 2x – 3y + 5 = 0 k1 = 1 : 2 = 0,5 k2 = 1 : (-3) = -1/3 k3 = -5 : 5 = -1 k1 ≠ k2 přímky jsou různoběžné Souřadnice průsečíku: P [2, 3]

Vzájemná poloha přímek Př: Určete číslo d tak, aby přímky p, q byly rovnoběžné. p: (1 + d)x – (2 – 3d)y + d = 0 q: x + 8y – 1 = 0 k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2 po dosazení dostáváme: = /.8 8 + 8d = -(2 – 3d) d = -2 dopočteme k1 ,k2 ,k3: k1 = -1 k2 = -1 k3 = 2 k1 = k2 ≠ k3 pro d = -2 jsou přímky rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímek p: (3 – 2d)x + (d – 4)y + 1 = 0 q: -2x + y – 1 = 0 k1 = k2 = k3 = přímky mají být rovnoběžné k1 = k2 po dosazení dostáváme: = d - 4 /.2 2d – 3 = 2d – 8 0 = -5 rovnice nemá řešení neexistuje žádné d, pro které by byly přímky rovnoběžné

Vzájemná poloha přímek Př: Určete číslo d tak, aby bod M [1, 5] ležel na přímce q. q: (1 + d)x + (1 – d)y + 2d = 0 za x, y dosadíme do rovnice přímky souřadnice bodu M (1 + d).1 + (1 – d).5 + 2d = 0 1 + d + 5 – 5d + 2d = 0 -2d = -6 d = 3 pro d = 3 platí M ɛ q

Vzájemná poloha přímek Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Gaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ……. platil školné nadarmo.“ Př: Urči vzájemnou polohu přímek p, q, u různoběžných urči souřadnice průsečíku. p: 2x – y + 1 = 0, q: 3x + 2 = 0 a) T = rovnoběžné totožné b) O = různoběžné p: -x + y = 0, q: 2x – 2y = 0 a) T = rovnoběžné totožné b) Á = různoběžné p: x + 2y + 1 = 0, q: 2x + y - 1 = 0 a) E = různoběžné b) T = rovnoběžné různé p: 3x – y + 1 = 0, q: 6x – 2y + 1 = 0 a) A = různoběžné b) C = rovnoběžné různé

Vzájemná poloha přímek Gaius Titus Petronius: „Brzy poznáš, že tvůj ………... platil školné nadarmo.“ OTEC

Vzájemná poloha přímek Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-04-14].