Polohové úlohy 1 Mgr. Martin Krajíc matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Moderní škola

Polohové úlohy vzájemná poloha dvou přímek v prostoru různoběžné … jeden společný bod (průsečík) rovnoběžné – totožné … všechny body společné různé … žádný společný bod mimoběžné … žádný společný bod

Polohové úlohy dány přímky p (P, u), q (Q, v) pomocí směrových vektorů určíme jejich vzájemnou polohu: a) rovnoběžné: vektor u je násobkem vektoru v u = k.v i. totožné: P  q nebo Q  p ii. totožné: P  q nebo Q  p b) různoběžné: vektor u není násobkem vektoru v u ≠ k.v mají průsečík c) mimoběžné: vektor u není násobkem vektoru v u ≠ k.v nemají průsečík Průsečík: ze dvou rovnic parametrického vyjádření sestavíme soustavu a vypočteme hodnoty parametrů, dosazením do třetí rovnice ověříme platnost (zda má nebo nemá průsečík)

Polohové úlohy Př: Určete vzájemnou polohu přímek p, q (t,s  R…parametry): a) p: x = 2 – t, y = 3 + 2t, z = 1 + t u = (-1, 2, 1), P[2, 3, 1] q: x = 1 + 3s, y = 1 – s, z = 4 + s v = (3, -1, 1), P[1, 1, 4] ověříme, zda vektor u je násobkem vektoru v: u = k.v (-1, 2, 1) = k.(3, -1, 1) (-1, 2, 1) = (3k, -1k, 1k) -1 = 3k, 2 = -1k, 1 = 1k k = - k = -2, k = 1 u ≠ k.v

Polohové úlohy ověříme, zda mají přímky průsečík: p: x = 2 – t q:x = 1 + 3s2 – t = 1 + 3s y = 3 + 2ty = 1 – s3 + 2t = 1 – s z = 1 + tz = 4 + s1 + t = 4 + s z první a třetí rovnice získáme: s = -0,5 t = 2,5 dosazením do druhé rovnice ověříme platnost soustavy: ,5 = 1 – (-0,5) 8 ≠ 1,5 přímky nemají průsečíkjsou mimoběžné

Polohové úlohy b) p: x = 1 – t, y = 4 + 2t, z = 3 + t u = (-1, 2, 1), P[1, 4, 3] q: x = s, y = 8 – s, z = 2 + s v = (3, -1, 1), P[-6, 8, 2] ověříme, zda vektor u je násobkem vektoru v: u = k.v (-1, 2, 1) = k.(3, -1, 1) (-1, 2, 1) = (3k, -1k, 1k) -1 = 3k, 2 = -1k, 1 = 1k k = - k = -2, k = 1 u ≠ k.v

Polohové úlohy ověříme, zda mají přímky průsečík: p: x = 1 – t q:x = s1 – t = s y = 4 + 2ty = 8 – s4 + 2t = 8 – s z = 3 + tz = 2 + s3 + t = 2 + s z první a třetí rovnice získáme: s = 2, t = 1 dosazením do druhé rovnice ověříme platnost soustavy: = 8 – 2 přímky mají průsečík 6 = 6 jsou různoběžné průsečík získáme dosazením parametru t nebo s do jedné z rovnic: x = 1 – t = 1 – 1 = 0, y = 4 + 2t = = 6, z = 3 + t = = 4 průsečík má souřadnice X[0, 6, 4]

Polohové úlohy c) p: x = 3 – 5t, y = 2 + 3t, z = 1 - t u = (-5, 3, -1), P[3, 2, 1] q: x = s, y = 3 – 6s, z = 1 + 2s v = (10,-6,2), P[-2,3, 1] ověříme, zda vektor u je násobkem vektoru v: u = k.v (-5, 3, -1) = k.(10, -6, 2) (-5, 3, -1) = (10k, -6k, 2k) -5 = 10k, 3 = -6k, -1 = 2k k = -0,5 k = -0,5 k = -0,5 u = k.v jsou rovnoběžné

Polohové úlohy zjistíme, zda jsou rovnoběžné různé nebo totožné: ? Q  p x = 3 – 5t-2 = 3 – 5t t = 1 y = 2 + 3t3 = 2 + 3t t = ⅓ z = 1 – t 1 = 1 – t t = 0 různé parametry, přímky jsou rovnoběžné různé

Polohové úlohy d) p: x = 3 – 5t, y = 2 + 3t, z = 1 - t u = (-5, 3, -1), P[3, 2, 1] q: x = s, y = 8 – 6s, z = s v = (10,-6,2),P[-2,3, 1] ověříme, zda vektor u je násobkem vektoru v: u = k.v (-5, 3, -1) = k.(10, -6, 2) (-5, 3, -1) = (10k, -6k, 2k) -5 = 10k, 3 = -6k, -1 = 2k k = -0,5 k = -0,5 k = -0,5 u = k.v jsou rovnoběžné

Polohové úlohy zjistíme, zda jsou rovnoběžné různé nebo totožné: ? Q  p x = 3 – 5t-7 = 3 – 5t t = 2 y = 2 + 3t8 = 2 + 3t t = 2 z = 1 – t -1 = 1 – t t = 2 stejné parametry, přímky jsou rovnoběžné totožné

Polohové úlohy – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Jan Amos Komenský: „S pomocí.... se mnozí stávají učenými i mimo školu. Bez knih pak nebývá učený nikdo ani ve škole.“ Př: Určete vzájemnou polohu přímek EF a MN 1. E[1, 2, -1], F[3, 0, 1], M[2, -1, 2], N[5, -6, 7] a) K = různoběžné, P[-1, 4, -3] b) L = různoběžné, P[1, 4, 3] 2. E[3, 1, 1], F[1, 2, 2], M[5, 0, 0], N[-1, 3, 3] a) I = rovnoběžné různé b) N = rovnoběžné totožné 3. E[1, 0, -1], F[2, 1, 1], M[1, 2, -2], N[0, -1, 2] a) I = mimoběžné b) D = různoběžné, P[-3, 1, 3] 4. E[3, -1, 2], F[4, 0, 1], M[1, 3, -1], N[3, 5, -3] a) H = rovnoběžné různé b) Í = různoběžné, P[-1, 3, 5]

Polohové úlohy – správné řešení Jan Amos Komenský: „S pomocí se mnozí stávají učenými i mimo školu. Bez knih pak nebývá učený nikdo ani ve škole.“ KNIH

Polohové úlohy – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. [online]. [cit ].