NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP9 NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů CFD transportní rovnice Turbulence a modely RANS Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

Modely transportních rovnic NAP9 Parabolické rovnice difúze a vedení tepla jsou také transportní rovnice, ale bez konvektivního mechanizmu transportu přenosu. A právě ten působí při numerickém modelování problémy a bývá základním zdrojem nelinearit a nestabilit. Obecná transportní rovnice má tvar divergence hustoty toku transportované veličiny, charakterizuje prostorové rozmazávání a vyhlazování změn Časová změna vlastnosti  částice pohybující se rychlostí v zdroj transportované veličiny (např. gradient tlaku při transportu hybnosti, nebo reakční entalpie).  je buď teplota T, hmotnostní podíl složky A , složky rychlosti vx,vy,vz nebo další skalární, vektorové či tenzorové veličiny, např. kinetická energie turbulentních fluktuací, složky tenzoru vazkých napětí apod.

Modely transportních rovnic NAP9 Co se vlastně transportuje?  vztažená na jednotku hmoty  vztažené na jednotku objemu Difúzní tok vlastnosti  jednotkou plochy Hmota 1  Hybnost Tensor vazkých napětí [Pa] Celková energie E E Tepelný tok [W/m2] Hmotnostní zlomek složky směsi A A Difúzní tok složky A [kg/m2.s] (součet vnitřní, kinetické a potenciální energie)

Konstitutivní rovnice NAP9 Vztah mezi difuzním tokem transportované veličiny (např. napětím) a potenciálem přenosu (např. gradientem rychlosti, nebo gradientem teploty či koncentrace) je tzv. konstitutivní rovnice materiálu. Konstitutivní rovnice pro molekulární transport hybnosti Newtonské tekutiny to ještě není konstitutivní rovnice, jen rozklad celkového napětí na hydrostatický tlak, který nezávisí na vlastnostech tekutiny a tenzor vazkých napětí Tenzor rychlosti deformace (symetrická část gradientu rychlosti) Objemová vazkost (odpor vůči expanzi nebo kompresi) Odpor vůči deformaci (úměrný gradientu rychlosti proudění) Poznámka: nepochybně vás zarazí člen s divergencí rychlosti (proč 1/3?). Zkuste spočítat stopu tenzoru vazkých napětí A to je ten důvod (Lambova hypotéza): součet všech normálových vazkých napětí by měl být nulový. Je to jen hypotéza, přemýšlejte o důvodech.

Konstitutivní rovnice NAP9 Zvlášť jednoduchý je speciální případ nestlačitelné kapaliny (nulová divergence rychlosti) Dynamická viskozita [Pa.s] Rychlost deformace [1/s] Pro zředěné plyny se dá viskozita poměrně přesně odhadnout z kinetické teorie plynů (neuvažují se mezimolekulové síly) v závislosti na střední rychlosti molekul u (ta závisí na teplotě) a na střední volné dráze lm Uvádím tento vztah (Maxwell 1860!) proto, že z podobných úvah vycházel první Prandtlův model turbulentní viskozity (nahrazující srážkovou vzdálenost molekul, směšovací vzdáleností turbulentních vírů) Viskozita  závisí především na teplotě. Z předchozího Maxwellova vztahu lze dovodit, že s teplotou roste ~T. Teorie viskozity kapalin je složitější, viskozita kapalin s teplotou většinou exponenciálně klesá. Konstitutivní rovnice pro molekulární transport tepla (Fourierův zákon) Konstitutivní rovnice pro molekulární transport složky (Fick)

Konstitutivní rovnice NAP9 Dosazením konstitutivních vztahů do obecné transportní rovnice bilance hmoty, hybnosti, energie a hmotnosti složky, získáme finální soustavu rovnic pro rychlosti, tlaky, teploty a koncentrace

Modely transportních rovnic NAP9 Přehled základních transportních rovnic, které by měl znát procesní inženýr rovnice kontinuity Navier Stokes (newtonské kapaliny) Cauchyho rovnice Fourier Kirchhoff zdrojový člen je třeba gravitační zrychlení zdrojový člen je třeba ohmické nebo reakční teplo Fick rychlost produkce složky A chemickou reakcí

Modely transportních rovnic NAP9 Poznámka k Navierovým Stokesovým rovnicím: Toto je NS rovnice zapsaná pomocí tzv. primitivních proměnných u,v,w,p (složky rychlosti a tlak) Použitím rovnice kontinuity ukažte, že je to přesně totéž jako rovnice, zapsaná v tzv. konzervativním tvaru Matematicky jsou tyto zápisy ekvivalentní, ale pro numerické řešení (CFD) jsou rozdíly zásadní (souvisí s rychlostí šíření zvuku a charakteristikami). Zatímco varianta v primitivních proměnných je vhodná pro nestlačitelné proudění, je konzervativní varianta (kde se nepočítají složky rychlostí, ale hybnosti) lepší pro stlačitelné proudění, s nespojitostmi rychlostí a tlaků (rázové vlny).

Turbulence NAP9 Co je to turbulence? Deterministický chaos, časové i prostorové náhodné fluktuace transportovaných veličin (fluktuace rychlostí, tlaků, teplot,…) Okamžitá hodnota Střední hodnota fluktuace

Turbulence – kaskáda vírů NAP9 Kinetická energie turbulence je součtem energií vírů různé velikosti Velké energetické víry E() Spektrální energie Inerciální režim (spektrální energie závisí jen na vlnovém čísle a ) odvození na následující folii Nejmenší víry (Kolmogorovské měřítko) zmizí, protože se přemění v teplo =2f/u 1/L 1/ vlnové číslo (1/rozměr víru) Typické frekvence f~10 kHz, Kolmogorovské měřítko ~0.01 až 0.1 mm Kolmogorovské měřítko  klesá s rostoucím Re

Inerciální režim turbulence NAP9 Rozměrová analýza v inerciálním režimu A to je proslulý Kolmogorovův zákon 5/3

Turbulence NAP9 Navier Stokes rovnice platí beze změny v laminárním i turbulentním režimu jenže konvektivní člen je kvadratickou funkcí rychlosti proudění a po překročení Rekrit se nelinearita stává zdrojem nestabilit (řešení vykazuje časové fluktuace), vzniká deterministický chaos divergence hustoty toku hybnosti má za úkol vyhlazovat nespojitosti a fluktuace náhodným pohybem molekul či celých vírů Pro numerické metody by bylo příliš obtížné a časově náročné se snažit počítat časové fluktuace rychlostí, teplot,… a modely RANS (Reynolds Averaging Navier Stokes) se omezují na stanovení časově zprůměrněných hodnot. Střední (průměrovaná, filtrovaná) hodnota

Turbulentní toky tepla a hmoty Turbulence RANS NAP9 Zprůměrnění rovnice kontinuity Reynoldsova napětí Průměrování Navier Stokesovy rovnice Průměrování obecné transportní rovnice Turbulentní toky tepla a hmoty

Turbulence RANS NAP9 Nově vzniklé červené členy (turbulentní napětí a turbulentní toky tepla a hmoty) jsou střední hodnoty součinu fluktuací. Boussinesque navrhl, aby se počítaly ze stejných konstitutivních rovnic jako laminární napětí a laminární difúzní toky, jen s jinými transportními koeficienty.

Rychlost deformace založená na zprůměrovaných rychlostech Turbulence RANS NAP9 Koncept turbulentní viskozity t (Boussinesque) Analogie Fourierova zákona Analogie Newtonova zákona Rychlost deformace založená na zprůměrovaných rychlostech

Turbulence NAP9 Modely RANS tedy doplňují molekulární transport o transport turbulentními víry. Místo skutečné molekulární viskozity  se použije o několik řádů vyšší turbulentní viskozita t, odhadovaná z nově definovaných skalárních transportních veličin: kinetické energie turbulentních fluktuací k [m2/s2] a dissipace kinetické energie  [m2/s3].

Turbulence NAP9 Ponechme zatím stranou to, jakým způsobem se dá k(t,x,y,z) a (t,x,y,z) spočítat a předpokládejme, že jsou známé. Turbulentní viskozita se z nich odvodí tím nejjednodušším možným způsobem (Occamova břitva) jen na základě rozměrových úvah Uvažuje se mocninová závislost a její exponenty plynou jednoznačně z požadavku na rozměrovou konzistenci Stejným způsobem (jen z rozměrů) lze dovodit vztahy pro turbulentní difuzivitu [m2/s] nebo rychlost mikromísení R [kg/(m3s)] U veličin v jejichž rozměru figuruje i teplota (např. teplotní vodivost) tento postup striktně vzato použít nelze (k, totiž neobsahují jednotku teploty). V takových případech se použije Reynoldsova analogie, tj. např. turbulentní tepelná vodivost se považuje za úměrnou turbulentní viskozitě.

Turbulence modely NAP9 Poznámka: Existují i jednodušší modely turbulence, tzv. algebraické modely, které turbulentní viskozitu odhadují ne na základě transportovaných veličin, ale dle místní hodnoty rychlosti deformace (gradientu rychlosti) a dle charakteristické vzdálenosti (např. od stěny) h v(y) kruhový paprsek výtok ze štěrbiny h směšování vrstev Prandlův model směšovací délky je inspirován identickým vztahem pro viskozitu plynů, kde lm je střední volná dráha molekul. Směšovací délka lm je střední volná dráha turbulentních vírů. y Nevýhodou algebraických modelů (modernější než Prandtlův model je např. Baldwin Lomax a Cebecci Smith) je neschopnost reagovat na to, že turbulentní fluktuace a jejich energie se transportují a stav turbulence v daném místě je ovlivněn stupněm turbulence míst odkud tekutina přitéká. Algebraické modely jsou užitečné třeba při popisu obtékání profilů nebo toku v kanálech. Nemohou věrohodně popsat odtrhávání proudu a tvorbu recirkulačních zón.

Turbulence modely - dissipace kinetické energie turbulence NAP9 Použití transportní rovnice pro kinetickou energii turbulence k je základem většiny prakticky používaných modelů typu RANS akumulace konvekce k disperze k produkce k dissipace k (přeměna v teplo) - dissipace kinetické energie turbulence turbulentní viskozita skutečná (molekulární) viskozita tenzor rychlosti deformace (symetrická část gradientu průměrných rychlostí) tenzor fluktuační složky rychlosti deformace

Tento člen vyplývá z rozměrové analýzy Turbulence modely NAP9 K transportní rovnici pro kinetickou energii turbulence se přidává další transportní rovnice, nejčastěji transportní rovnice pro dissipaci kinetické energie . Je dost podobná rovnici přenosu kinetické energie fluktuací k akumulace konvekce  disperze  produkce dissipace Tento člen vyplývá z rozměrové analýzy Výpočet turbulentní viskozity z dvojice k, je klasika, vhodná pro vysoké hodnoty Re, a když proudění není příliš zakřivené. k, modely většinou nadhodnocují turbulentní viskozitu, takže dobře konvergují. Modernější modely, např. RNG, modifikují zejména transportní rovnici pro  tak aby lépe popisovala proudění při menších Re, nebo se místo  použijí jiné charakteristiky turbulence, např.  (specifická dissipace [1/s]).

Turbulence modely NAP9 Modely k-epsilon, k-omega, RNG, Spalart Almaras (které nabízí Fluent) jsou všechny typu RANS, tj. jsou založené na časovém průměrování fluktuací a na konceptu turbulentní viskozity. Modely RSM (Reynolds Stress Modelling) jsou také založeny na časovém průměrování fluktuací, ale už nepoužívají koncept turbulentní viskozity. Jako konstitutivní rovnice jsou použity přímo transportní rovnice pro 6 složek tenzoru turbulentních napětí. Neřeší se transportní rovnice pro kinetickou energii turbulence, protože ta je přímo součtem diagonálních prvků tenzoru turbulentních Reynoldsových napětí. Model LES (Large Eddy Simulation) se nesnaží průměrovat časové fluktuace, ale přímo je v malých časových krocích počítá. Průměrují se pouze prostorové fluktuace. Přesněji, propočítávají se časové i prostorové pulzace alespoň velkých turbulentních vírů, vírů, které jsou větší než je rozměr buňky sítě.

Turbulence modely Fluent NAP9 Spalart Almaras (transport viskozity 1 PDE) k- dissipace k (standard+RNG+realizable) k- specific dissipace (standard+SST shear stress transport) k-kl- transition model laminarturbulent v2-f boundary layer detachment (low Re) RSM DES (Detached Eddy Simulation, Spalart Almaras+realizable+SST), jako LES u stěny LES (Large Eddy Simulation) Tok v trubce – tlakové ztráty a rychlostní profily

Turbulence Fluent NAP9 Tok v trubce – tlakové ztráty a rychlostní profily Lukáš

Turbulence Fluent NAP9 Jako příklad uvedeme řešení stacionárního izotermního proudění v trubce s kruhovým průřezem, kde na vstupu je zadán konstantní rychlostní profil u=1 m/s. Cílem je stanovit tlakovou ztrátu a vyvinutý rychlostní profil (a porovnat hodnoty vypočtené Fluentem s inženýrskými korelacemi, Blasiovým vztahem pro třecí ztráty ). Při stejné geometrii a rychlostech budou propočítávána dvě media: vzduch (velmi nízké Re cca 2400) a voda (Re cca 40000). Při výpočtu budou použity a porovnány různé modely turbulence typu RANS.

Turbulence Fluent NAP9 WALL VELOCITY INLET AXIS Material: water-liquid (fluid) Property Units Method Value(s) --------------------------------------------------------------- Density kg/m3 constant 998.20001 Cp (Specific Heat) j/kg-k constant 4182 Thermal Conductivit w/m-k constant 0.6 Viscosity kg/m-s constant 0.001003 Molecular Weight kg/kgmol constant 18.0152 WALL VELOCITY INLET AXIS Geometrie trubky: L=0.5m, D=0.04m. Rychlost na vstupu u=1m/s síť 50 x 20, zhuštění 2 (poslední/první) PRESSURE OUTLET

Def.ModelVisc. Def.Axisymmetric Def.Boundaryu=1 Turbulence Fluent NAP9 Voda Def.ModelVisc. Def.Axisymmetric Def.Boundaryu=1 DisplayVectors

ResultsSurface average Turbulence Fluent NAP9 Vzduch Laminar Mass-Weighted Average Static Pressure (pascal) -------------------------------- -------------------- velocity_inlet.3 0.61464286 Spalart Almaras Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 0.62425083 k-epsilon Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 1.2050774 RNG Mass-Weighted Average Realizable Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 1.1221648 k-omega Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 0.78146631 ResultsSurface average Voda Spalart Almaraz Mass-Weighted Average Static Pressure (pascal) -------------------------------- -------------------- velocity_inlet.3 141.57076 RNG Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 245.41853 k-epsilon Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 274.16226 k-omega Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 258.04153

Turbulence Fluent NAP9 Bývá užitečné se přesvědčit, zda je správně modelována turbulence v oblasti u stěny, a to na základě vypočteného (nebo odhadnutého) smykového napětí na stěně bezrozměrná vzdálenost nejbližšího uzlu Tato hodnota byla vypočtena pro 2x jemnější síť v radiálním směru Nárazníková podvrstva 5<y+<30 Je třeba použít stěnové funkce

Turbulence Fluent NAP9 / Journal File for GAMBIT 2.4.6, Database 2.4.4, ntx86 SP2007051421 / Identifier "pipe2dn" / File opened for write Mon Nov 28 08:28:27 2011. identifier name "pipe2dn" new nosaveprevious face create width 1 height 0.02 xyplane rectangle window matrix 1 entries 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -0.2624999880791 \ 0.2624999880791 -0.1590357869864 0.1590357869864 -1 1 face move "face.1" offset 0.5 0.01 0 undo begingroup edge delete "edge.1" keepsettings onlymesh edge mesh "edge.1" firstlast ratio1 1.981 intervals 100 undo endgroup edge delete "edge.3" keepsettings onlymesh edge modify "edge.3" backward edge mesh "edge.3" firstlast ratio1 2 intervals 100 edge delete "edge.4" keepsettings onlymesh edge modify "edge.4" backward edge picklink "edge.4" edge mesh "edge.4" lastfirst ratio1 2 intervals 40 edge delete "edge.2" keepsettings onlymesh edge mesh "edge.2" firstlast ratio1 0.5 intervals 40 face mesh "face.1" map physics create btype "WALL" edge "edge.3" physics create btype "AXIS" edge "edge.1" physics create btype "VELOCITY_INLET" edge "edge.4" physics create btype "PRESSURE_OUTLET" edge "edge.2" solver select "FLUENT/UNS" export fluent5 "pipe2dn.msh" nozval save / File closed at Sat Nov 26 13:56:19 2011, 1.39 cpu second(s), 3331408 maximum memory. save name "pipe2dn.dbs" / File closed at Mon Nov 28 08:31:30 2011, 0.50 cpu second(s), 4639176 maximum memory. Nejjednodušší způsob jak modifikovat geometrii (pro L=1m a síť 100x40) je upravit žurnálový soubor .jou Jedině porovnáním tlakových ztrát pro různě dlouhé trubky lze určit zvýšení tlakové ztráty na vstupu:

Turbulence Fluent NAP9 Voda L=1m Voda L=0.5m 141Pa error 1% Spalart Almaraz Mass-Weighted Average Static Pressure (pascal) -------------------------------- -------------------- velocity_inlet.3 282. RNG Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 410. k-epsilon Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 445 k-omega Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 481 Voda L=0.5m Spalart Almaraz Mass-Weighted Average Static Pressure (pascal) -------------------------------- -------------------- velocity_inlet.3 141.57076 RNG Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 245.41853 k-epsilon Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 274.16226 k-omega Mass-Weighted Average velocity_inlet.3 258.04153 141Pa error 1% 165Pa error 18% 171Pa error 22% 223Pa error 59% RSM dává dokonce zápornou tlakovou ztrátu -230.0078 Pa !