„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.   ANALYTICKÁ GEOMETRIE OPERACE S VEKTORY Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 30.12.2013 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Sčítání vektorů 𝒗 𝒖 + 𝒗 𝒖 v rovině: 𝒖 + 𝒗 =( 𝒖 𝟏 + 𝒗 𝟏 ; 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 ) v prostoru: 𝒖 + 𝒗 =( 𝒖 𝟏 + 𝒗 𝟏 ; 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 ; 𝒖 𝟑 + 𝒗 𝟑 )

Odčítání vektorů – přičtení opačného v. − 𝒗 𝑣 𝒖 𝒖 − 𝒗 v rovině: 𝒖 − 𝒗 =( 𝒖 𝟏 − 𝒗 𝟏 ; 𝒖 𝟐 − 𝒗 𝟐 ) v prostoru: 𝒖 − 𝒗 =( 𝒖 𝟏 − 𝒗 𝟏 ; 𝒖 𝟐 − 𝒗 𝟐 ; 𝒖 𝟑 − 𝒗 𝟑 )

Vlastnosti sčítání a odčítání vektorů vektory sčítáme a odčítáme po složkách opačný vektor 𝑢 +(− 𝑢 )= 𝑜 komutativní 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 asociativní 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 neutrální prvek 𝑢 + 𝑜 = 𝑢

Sčítání, odčítání vektorů – příklad Jsou dány vektory 𝑎 = 2;3;−1 ; 𝑏 = −1;0;3 . Vypočítej souřadnice vektorů 𝑐 = 𝑎 + 𝑏; 𝑑 = 𝑎 − 𝑏; 𝑑 1 = 𝑎 1 − 𝑏 1 𝑑 1 =2−(−1) 𝑑 1 =3 𝑑 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑑 2 =3−0 𝑑 2 =3 𝑑 3 = 𝑎 3 − 𝑏 3 𝑑 3 =−1−3 𝑑 3 =−4 𝑑 = 3;3;−4 𝑐 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 𝑐 1 =2+(−1) 𝑐 1 =1 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑐 2 =3+0 𝑐 2 =3 𝑐 3 = 𝑎 3 + 𝑏 3 𝑐 3 =−1+3 𝑐 3 =2 𝑐 = 1;3;2

Vlastnosti násobení vektorů reál. č. 𝒌 𝒖 =(𝒌 𝒖 𝟏 ;𝒌 𝒖 𝟐 ;𝒌 𝒖 𝟑 ) násobení nulou 0∙ 𝑢 = 𝑜 opačný vektor −1 ∙ 𝑢 =− 𝑢 asociativnost 𝑘(𝑙 𝑢 )=(𝑘𝑙) 𝑢 distributivnost 𝑘 𝑢 + 𝑣 =𝑘 𝑢 +𝑘 𝑣 𝑘+𝑙 𝑢 =𝑘 𝑢 +𝑙 𝑢

Kolineární vektory Jestliže 𝒗 =𝒌 𝒖 (𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝒗 𝒋𝒆 𝒏á𝒔𝒐𝒃𝒌𝒆𝒎 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓𝒖 𝒖), pak jsou vektory 𝑢 a 𝑣 kolineární ⇒ leží na jedné přímce nebo na rovnoběžkách mají stejný nebo opačný směr

Násobení vektoru – příklad Jsou dány vektory 𝑎 = 2;3;−1 ; 𝑏 = −1;0;3 . Vypočítej souřadnice vektorů 𝑐 = 2 3 𝑎 ; 𝑑 = −2 𝑏; 𝑐 1 = 𝑘𝑎 1 𝑐 1 = 2 3 ∙2 𝑐 1 = 4 3 𝑐 2 = 2 3 𝑎 2 𝑐 2 = 2 3 ∙3 𝑐 2 =2 𝑐 3 = 𝑘𝑎 3 𝑐 3 = 2 3 ∙(−1) 𝑐 3 =− 2 3 𝒄 = 𝟒 𝟑 ;𝟐;−𝟐/𝟑 𝑑 1 = 𝑘𝑏 1 𝑑 1 =−2∙(−1) 𝑑 1 =2 𝑑 2 = 𝑘𝑏 2 𝑑 2 =−2∙0 𝑑 2 =0 𝑑 3 = 𝑘𝑏 3 𝑑 2 =−2∙3 𝑑 2 =−6 𝒅 = 𝟐;𝟎;−𝟔

Kolineární vektory – příklad Zjisti, zda vektory 𝑎; 𝑏 𝑛𝑒𝑏𝑜 𝑎; 𝑐 určují stejný směr. 𝑎 = 2;3;−1 ; 𝑏 = −1;− 3 2 ; 1 2 ; 𝑐 = −1;0;3 . 𝑏 =𝑘∙ 𝑎 𝑏 1 =𝑘∙ 𝑎 1 −1=𝑘∙2 𝑘=− 1 2 𝑏 2 = 𝑘∙𝑎 2 − 3 2 =k∙3 𝑏 3 =𝑘∙ 𝑎 3 1 2 =𝑘∙(−1) 𝑘=− 1 2 𝒖 a 𝒗 jsou kolineární 𝑐 =𝑘∙ 𝑎 𝑐 1 =𝑘∙ 𝑎 1 −1=𝑘∙2 𝑘=− 1 2 𝑐 2 = 𝑘∙𝑎 2 0=𝑘∙3 𝑘=0 pro každou souřadnici jiné k ⇒ 𝒖 a 𝒗 nejsou kolineární

Lineární kombinace vektorů Jestliže 𝑤 =𝑘 𝑢 +𝑙 𝑣 +… , pak vektor 𝑤 je lineární kombinací vektorů 𝑢 ; 𝑣 ..... Graficky: vektor 𝑤 lze získat složením násobků ostatních vektorů.

Vypočítej lineární kombinaci vektorů Jsou dány vekt𝑜𝑟𝑦 𝑎 = 2;3;−1 ; 𝑏 = 1;0;−3 . 𝑉𝑦𝑝𝑜čí𝑡𝑒𝑗 𝑎) 𝑐 =2 𝑎 −3 𝑏 𝑐 =2 𝑎 −3 𝑏 𝑐 1 =2 𝑎 1 −3 𝑏 1 𝑐 1 =2∙2−3∙1 𝑐 1 =1 𝑐 2 =2 𝑎 2 −3 𝑏 2 𝑐 2 =2∙3−3∙0 𝑐 2 =6 𝑐 3 =2 𝑎 3 −3 𝑏 3 𝑐 3 =2∙(−1)−3∙(−3) 𝑐 3 =7 𝑐 =(1;6;7) 𝑉𝑦𝑝𝑜čí𝑡𝑒𝑗 𝑏) 𝑐 =2 𝑎 + 2 3 𝑏 Ř: ( 14 3 ;6;−4

Ověř lineární kombinaci vektorů Jsou dány vekt𝑜𝑟𝑦 𝑎 = 2;3;−1 ; 𝑏 = 1;0;−3 . 𝑂𝑣ěř, 𝑧𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑦 𝑐 = 0;−3;−5 𝑎 𝑑 = 1;−2;2 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑗𝑒𝑗𝑖𝑐ℎ 𝑙𝑖𝑛𝑒á𝑟𝑛í 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐í. musí platit 𝑐 =𝑘 𝑎 +𝑙 𝑏 𝑘,𝑙 𝑝𝑟𝑜 𝑣š𝑒𝑐ℎ𝑛𝑦 𝑠𝑜𝑢ř. stejné 0=2𝑘+𝑙 −3=3𝑘+0𝑙 −5=−𝑘−3𝑙 ......... z první a druhé rovnice k=-1; l=2 𝑜𝑣ěří𝑚 pro třetí rovnici L= -5 P=− −1 −3∙2=−5 L=P 𝑐 je lineární kombinací 𝑎 𝑎 𝑏 𝑑 = 1;−2;2 není lin. komb. Ř:𝑘=− 2 3 ;𝑙=− 3 4 𝑧 𝑝𝑟𝑣𝑛í𝑐ℎ 𝑑𝑣𝑜𝑢 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐, 𝑡ř𝑒𝑡í 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑖 𝑛𝑒𝑣𝑦ℎ.

Lineární závislost vektorů – geom. význam v rovině: lin. kombinace dvou vektorů = nulový vektor ⇒ vektory leží na stejné přímce v prostoru: lin. kombinace tří vektorů = nulový vektor ⇒ vektory jsou komplanární, leží v jedné rovině

Použité zdroje: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.