Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Kvadratická nerovnice Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Kvadratická nerovnice

Osnova a)pojmem kvadratická nerovnice b)způsoby řešení kvadratické nerovnice c)ukázkové příklady d)příklady na procvičení včetně řešení

Kvadratická nerovnice Kvadratickou nerovnicí nazýváme nerovnicí v obecném tvaru ax 2 + bx + c > 0, kde koeficienty a,b,c R, a ≠ 0 pozn.: znakem nerovnosti může být >, <, ≥, ≤ pozn.: řešením kvadratické nerovnice je interval (výjimečně něco jiného) pozn.: při násobení nebo dělení záporným číslem obrátit znaménko

Způsoby řešení kvadratické nerovnice početní krok 1.) nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme tuto rovnici krok 2.) napíšeme součin závorek s kořeny rovnice krok 3.) vyřešíme nerovnici v součinovém tvaru krok 4.) napíšeme řešení příkladu

Ukázkový příklad: x(5x + 1) > (x + 1) – 5x 5x 2 + x > x 2 + 2x – 5x 4x 2 + 4x – 3 > 0 (převedeme na kvadratickou rovnici) 4x 2 + 4x – 3 = 0 (vyřešíme kořeny rovnice) x 1 = -3/2 ; x 2 = ½ a(x – x 1 )(x – x 2 ) (rozložíme na součin dvou závorek) 4(x + 3/2)(x – ½) > 0 / :4 (x + 3/2)(x – ½) > 0 a b (vyřešíme dle daného schématu) a.b > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0

a > 0 b > 0 (vyřešíme levou stranu schématu) (x + 3/2) > 0 (x – ½) > 0 (řešíme dvě lineární nerovnice) x > - 3/2 x > ½ (zaneseme do grafu; hledáme průnik) - 3/2 ½ (napíšeme výsledek levé strany schématu) a < 0 b < 0 (vyřešíme pravou stranu schématu) (x + 3/2) < 0 (x – ½) < 0 (řešíme dvě lineární nerovnice) x < - 3/2 x < ½ (zaneseme do grafu; hledáme průnik) - 3/2 ½ (napíšeme výsledek levé strany schématu) (oba výsledky sjednotíme; konečné řešení)

Příklady na procvičení př. 1: 2 – 5x – 3x 2 < 0 Řešení Př. 2: 21 – 29x ≤ (6 – 4x)(3 – 2x) Řešení přeskočit

Řešení př. 1: 2 – 5x – 3x 2 < 0 a(x – x 1 )(x – x 2 ) - 3x 2 – 5x + 2 < 0 -3(x - 1/3)(x + 2) < 0 / :(-3) - 3x 2 – 5x + 2 = 0 (x – 1/3)(x + 2) > 0 x 1 = 1/3 ; x 2 = -2 a b a.b > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 (x - 1/3) > 0 (x + 2) > 0 (x - 1/3) < 0 (x + 2) < 0 x > 1/3 x > -2 x < 1/3 x < /3 -2 1/3 zpět

Řešení př. 2: 21 – 29x ≥ (6 – 4x)(3 – 2x) a(x – x 1 )(x – x 2 ) 21 – 29x ≥ 18 – 12x – 12x + 8x 2 -8(x - 3/8)(x + 1) ≥ 0 / :(-8) 21 – 29x ≥ 18 – 24x + 8x 2 (x – 3/8)(x + 1) ≤ 0 - 8x 2 – 5x + 3 ≥ 0 a b - 8x 2 – 5x + 3 = 0 x 1 = 3/8 ; x 2 = -1 a.b ≤ 0 a ≥ 0 b ≤ 0 a ≤ 0 b ≥ 0 a ≥ 0 b ≤ 0 a ≤ 0 b ≥ 0 (x - 3/8) ≥ 0 (x + 1) ≤ 0 (x - 3/8) ≤ 0 (x + 1) ≥ 0 x ≥ 3/8 x ≤ -1 x ≤ 3/8 x ≥ /8 -1 3/8 zpět

Způsoby řešení kvadratické nerovnice graficky krok 1.) nerovnici převedeme na rovnici a vyřešíme tuto rovnici krok 2.) kořeny rovnice zaneseme na osu x krok 3.) zjistíme tvar grafu krok 4.) dle kvadratické nerovnice zjistíme, kde se nachází řešení krok 5.) napíšeme řešení příkladu

Ukázkový příklad: - 3x 2 + 7x + 6 < 0 /.(-1) (vynásobíme -1; musíme převrátit znaménko) 3x 2 – 7x – 6 > 0 3x 2 – 7x – 6 = 0 (vyřešíme kořeny kvadratické rovnice) x 1 = -2/3 ; x 2 = 3 (zaneseme kořeny na osu x; průsečíky s grafem) a = 3 (určíme tvar grafu --- a > 0) y (hledáme část, která je nad osou x; zeleně) (zaneseme kolečka; podle znaku nerovnosti) (označíme řešení na ose x; červeně) -2/3 3 x (napíšeme řešení)

Příklady na procvičení př. 1: 8x 2 – 10x - 3 ≤ 0 Řešení př. 2: (x + 3)(1 – x) ≤ 2x 2 + 8x + 8 – 5x – 7 Řešení přeskočit

Řešení př. 1: 8x 2 – 10x – 3 ≤ 0 8x 2 – 10x – 3 = 0 x 1 = 3/2 ; x 2 = -1/4 a > a = 8 y x -1/4 3/2 zpět

Řešení př. 2: (x + 3)(1 – x) ≤ 2x 2 + 8x + 8 – 5x – 7 x – x – 3x ≤ 2x 2 + 8x + 8 – 5x – 7 -3x 2 – 5x + 2 ≤ 0 -3x 2 – 5x + 2 = 0 x 1 = 1/3 ; x 2 = - 2 a < a = -3 y - 2 1/3 x zpět

Zvláštní příklady př. 1: - 4.(3x + x 2 ) < 7x + 24 Řešení př. 2: 3x 2 – 7x + 6 < 0 Řešení přeskočit

Řešení př. 1: - 4.(3x + x 2 ) < 7x x – 4x 2 < 7x x 2 – 19x – 24 < 0 - 4x 2 – 19x – 24 = 0 D = (-19) 2 – 4.(-4).(-24) = 361 – 384 = -13 rovnice nemá řešení v R ALE nerovnice lze řešit !!!!! a < a = -4 y x celý graf je pod osou x, proto je řešením  R zpět

Řešení př. 2: 3x 2 – 7x + 6 < 0 3x 2 – 7x + 6 = 0 D = (-7) 2 – = 49 – 72 = -23 kvadr. rovnice nemá řešení v R ALE kvadr. nerovnice lze řešit !!! a > a = 3 y x žádná část grafu není pod osou x, proto je řešením  zpět

Shrnutí obecný tvar kvadratické nerovnice ax 2 + bx + c > 0 způsoby řešení a)početně b)graficky zvláštní případy – řešením je R nebo prázdná množina

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Sbírka řešených příkladů – rovnice a nerovnice. 1. vydání. Opava: SSŠP, spol. s r.o., ISBN