Společná laboratoř nízkých teplot, Kvantová turbulence L. Skrbek Společná laboratoř nízkých teplot, Matematicko-fyzikální fakulta UK a Fyzikální ústav AV ČR V Holešovičkách 2, 180 00 Praha 8 Teoretické oddělení FZU AV ČR 10. 4. 2007

Osnova I Úvod (turbulence, kvantové kapaliny 4He a 3He) II Klasická kryogenní turbulence III Energetická spektra klasické a kvantové turbulence IV Tepelně generovaná kvantová turbulence v He II V Křemenný krystal jako generátor a detektor turbulence VI Závěr Spolupracovníci ve Společné laboratoři nízkých teplot MFF UK a FZU AV ČR M. Blažková, T. Chagovets, D. Schmoranzer M. Rotter, J. Šebek, F. Soukup, P. Doškářová, L. Doležal, P. Vacek, J. Prachařová A. Gordeev, J. Šindelář A. Srnka... UPT AVČR Brno Zahraniční spolupráce Helsinki Univesity of Technology M. Krusius, V.B. Eltsov, G.E. Volovik... University of Birmingham, UK W.F. Vinen Lancaster University, UK P.V.E. McClintock... University of Newcastle, UK C.F. Barenghi ICTP Trieste, Italy K.R. Sreenivasan, J.J. Niemela Ústav Exp. Fyziky SAV, Košice P. Skyba... Osaka City University, Japan M. Tsubota Weizmann Institute of Science, Israel V.S. L´vov Florida University, Nat. Mag. Lab., USA S. VanSciver...

Turbulence - poslední nevyřešený problém klasické fyziky Charakteristické délkové měřítko turbulence ? Kvantovaný vír v He II Obecná teorie turbulence dosud neexistuje

Půl tisíciletí studia turbulence...                                                                        Půl tisíciletí studia turbulence... Leonardo Da Vinci (1452-1519)

Historie hydrodynamické turbulence Claude Louis Marie Henri Navier George Gabriel Stokes Leonard Euler K41 K62 Andrej Nikolaevič Kolmogorov Osborne Reynolds

KVANTOVÁ TURBULENCE - turbulence v kvantových kapalinách, zahrnuje kvantované víry Kvantové kapaliny – jejich vlastnosti nelze popsat v rámci klasické fyziky, neboť jsou projevem kvantové mechaniky v makroskopickém měřítku Fázový diagram 4He Fázový diagram 3He Pevné He He I – normální kapalina P (kPa) Supratekuté He II Kritický bod plyn T (K)

Proudění He II a 3He-B Dvoukapalinový model popisuje i proudění 3He-B Fundamentální teorie pro popis He II neexistuje Dvoukapalinový model (Landau) Dobře popisuje proudění supratekutého He v limitě malých rychlostí Předpovídá existenci druhého zvuku – (vln entropie či teploty) Dvoukapalinový model popisuje i proudění 3He-B

De Broglieova vlnová délka Satyendranath Albert Bose Einstein Při ochlazování se zvětšuje, vlnové funkce se začnou překrývat Boseova – Einsteinova kondenzace nastane v prostoru hybností při (pouze v 3D) Pojem individuální částice zcela ztrácí smysl (částice „rozmazány v celém objemu“) - jde o gigantickou vlnu hmoty

Popis supratekutého He II z hlediska kvantové mechaniky Makroskopická vlnová funkce – popisuje celý objem kapaliny Cirkulace v nejednoduše souvislé oblasti je kvantovaná Cirkulace (v jednoduše souvislé oblasti) Kvantované víry v He II Supratekuté He II ve stavu rotace -díky vzniku mřížky kvantovaných vírů imituje rotaci tuhého tělesa vířivost

Klasická versus kvantová turbulence Šifra Mistra Leonarda pro 21. století ・Kvantované víry jsou topologicky stabilní. Všechny mají stejnou cirkulaci. Platí zákon zachování cirkulace. ・Víry jsou topologicky nestabilní. Je obtížné je identifikovat. ・Cirkulace se liší od víru k víru. Kvantová turbulence (v limitě nulové teploty) je jednodušší než klasická - prototyp turbulence

T (p) Míra intenzity turbulence  (cm2/s) / (s2/cm4K) vzduch 0,15 Reynoldsovo číslo pro izotermická proudění Rayleighovo číslo pro konvektivní proudění v gravitačním poli   T (p)  (cm2/s) / (s2/cm4K) vzduch 20 C 0,15 0,122 voda 1,004x10-2 14,4 Normální 3He nad Tc ~ 1, olivový olej Normální složka 3He B kolem 0.6 Tc ~ 0.2, vzduch Helium I 2,25 K (SVP) 1,96x10-4 3,25x105 Helium II 1,8 K (SVP) 9,01x10-5 X He-plyn 5,5 K (2,8 bar) 3,21x10-4 1,41x108 Ra Re Slunce 1021 1013 Oceán 1020 109 Atmosféra 1017 Námořní loď Dopravní letadlo 108-109 Kryogenní helium je nejvhodnějším médiem pro laboratorní experiment turbulence ultravysokých Re a Ra Současná úroveň fyziky nízkých teplot a kryogeniky takový experiment bez problémů umožňuje

Kryostat pro kryogenní turbulentní tepelnou konvekci v He plynu Efektivita tepelného přenosu v procesu turbulentní konvekce Niemela, Skrbek, Sreenivasan, Donnelly Turbulent Convection at Very High Rayleigh Numbers, Nature 404 (2000) 837 Podobný kryostat byl navržen a je již testován ve spolupráci s ÚPT AVČR Brno v rámci grantového projektu GAČR 202/05/0218 Kryogenní klasická a kvantová turbulence

T 4He 3He 1 3 2 He II – “směs” dvou složek supratekuté 3He B T 0 limit Normální kapalné 3He Klasická Navierova-Stokesova tekutina s kinematickou vazkostí srovnatelnou se vzduchem Normální kapalné He I Klasická Navierova-Stokesova tekutina s extrémně nízkou kinematickou vazkostí 1 Přechod do supratekutého stavu při Tc He II – “směs” dvou složek supratekuté 3He B Normální složka s extrémně Normální složka s kinematickou vazkostí nízkou kinematickou vazkostí srovnatelnou se vzduchem + + Supratekutá složka Supratekutá složka Nulová vazkost, kvantovaná cirkulace Nulová vazkost, kvantovaná cirkulace T 0 limit Pouze supratekutá složka Pouze supratekutá složka 3 2

1. krok – klasická turbulence ve vazké tekutině Vizualizace mřížkové turbulence Klasická turbulence - Richardsonova kaskáda

3d energetické spektrum homogenní izotropní turbulence Energetické víry Inerciální oblast Spektrální hustota energie (log ) Disipativní oblast Vazkost nehraje podstatnou roli …............... až zde k Energie Energie

2. krok – kvantová turbulence v limitě nulové teploty Energie vstupuje do systému a vytváří velké víry Mechanismem Richardsonovy kaskády je energie přenášena ke stále menším vírům Kaskáda nemůže končit vazkou disipací – chybí jakýkoli disipační mechanismus Proto kaskáda pokračuje ve formě Kelvinových vln, energie je přenášena ke stále vyšším frekvencím Disipačním mechnismem je emise fononů

Jak popsat dynamiku kvantovaných vírů model vírových vláken (vortex filament formulation) (Schwarz)　　 Biotův-Savartův (BS) zákon Při T=0 víry vytvoří supratekuté rychlostní pole ve shodě s BS zákonem a pohybují se s lokálním prouděním Při T>0 musíme uvažovat vnitřní tření mezi normální a supratekutou složkou r s Grossova-Pitaevského rovnice pro makroskopickou vlnovou funkci Generally we have two methods of how to describe the dynamics of quantized vortices. One is the vortex filament formulation, which was pioneered by Klaus Schwarz. A vortex makes the superflow of the Biot-Savart law, and moves with this flow. At a finite temperature, the mutual friction should be considered. Numerically, a vortex is represented by a string of points, and we follow the motion of these points. The other is to solve the Gross-Pitaevskii equation for the macroscopic wave function.

Kolmogorovova typu spektra Počítačové simulace - dvě metody model vírových vláken (vortex filament formulation) T. Araki, M.Tsubota and S.K.Nemirovskii, Phys.Rev.Lett.89, 145301(2002): Energy Spectrum of Superfluid Turbulence with No Normal-Fluid Component Grossův-Pitaevského model, ve kterém je zavedena disipace při velkých k M. Kobayashi and M. Tsubota, PRL94, 065302 (2005) In order to overcome this difficulty, we have studied the turbulence of the Gross-Pitaevskii model in the wave number k-space by introducing the dissipative mechanism. First I will talk about the decaying turbulence, which is reported in this paper. Next, I will discuss steady turbulence of our very recent work. By introducing,.. Obě metody ukazují na existenci Kolmogorovova typu spektra

3. krok – turbulence v rámci dvousložkového modelu generovaná klasicky L. Skrbek: Energy Spectra of Quantum Turbulence in He II and 3He-B-a Unified View, JETP Letters 83 (2006) 127 Vazká disipace Emise fononů Kelvinovou vlnou Richardsonova kaskáda Energetické spekrum je strmější díky disipativnímu vnitřnímu tření, které již nedokáže pevně vázat N a S víry. Turbulentní energie je částečně přeměňována v teplo a opouští kaskádu Až sem jsou normální a supratekuté víry (eddies) pevně vázány díky vnitřnímu tření. Pohybují se společně, nedochází k disipaci energie – proto Kolmogorovovo spektrum Pro velké k se vnitřní tření stává zanedbatelně malým, proto je tvar spektra opět Kolmogorovský Emise fononů Kelvinovou vlnou D – velikost turbulentního systému

Byly odvozeny a asymptoticky vyřešeny rovnice energetické rovnováhy V.S. L'vov, S. V. Nazarenko and L. Skrbek: Energy Spectra of Developed Turbulence in Helium Superfluids, Journal of Low Temp. Phys. 145, No 3-4 (2006) 125-142 Teoretický model pro výpočet tvaru energetického spektra na základě kontinuálního přiblížení v rámci dvousložkového modelu s vnitřním třením Byly odvozeny a asymptoticky vyřešeny rovnice energetické rovnováhy

Energetické spektrum mřížkové kvantové turbulence v He II Skrbek, Niemela, Sreenivasan: Phys. Rev. E 64 (2001) 067301 Energetické víry Inerciální oblast Spektrální hustota energie (log ) disipace Maurer, Tabeling: Europhysics Lett. 43 (1998) 29 k

Klasické proudění - Navierova-Stokesova rovnice Re závisí na geometrii proudění energie Supratekuté proudění 3He-B (normální složka v klidu) středováním Eulerovy rovnice pro měřítko přesahující vzdálenost mezi jednotlivými kvantovanými víry energie Parametr q: hraje roli převráceného Re je funkcí pouze teploty NEZÁVISÍ na geometrii proudění

Kvantová turbulence v supratekutém 3He – B A.P. Finne, T. Araki, R. Blauwgeers, V.B. Eltsosv, N.B. Kopnin, M. Krusius, L. Skrbek, M. Tsubota, G.E. Volovik An intrinsic velocity-independent criterion for superfluid turbulence Nature 424 (2003) 1022 Kvantová turbulence v supratekutém 3He – B

Kvantová turbulence v He II generovaná protiproudem normální a supratekuté složky Tlumení druhého zvuku Lock-in generator zlacená “nuclepore” membrána mosazná elektroda A0 A S Supratekutá složka Normální složka topení

Signál druhého zvuku - protiproudá turbulence time (s) Second sound amplitude (10 -4 V) heater on heater off Vinenova analýza předpokládá rozpad typu 1/t Gordeev, Chagovets, Soukup, Skrbek, JLTP 138 (2005) 554) Počáteční rychlý rozpad Střední – pomalý - rozpad Pozdní mocninný rozpad

Depolarizace vírového klubka ? Druhý zvuk detekuje: Klubko je plně polarizované Víry leží náhodně v rovinách kolmých k protiproudu Druhý zvuk detekuje: Neboť (ii) The tangle is random in 3D (tj 4/3 krát vyšší signál)

Biot-Savart calculations in a periodic box 1 cm, T= 2 K counterflow 1 cm/s , vortex tangle 190 cm time=0 Time 0.1 s C.F. Barenghi, A. V. Gordeev, and L. Skrbek: Depolarization of decaying counterflow turbulence in He II , Phys. Rev. E 74, 026309 (2006) C.F. Barenghi, L. Skrbek: On decaying Counterflow Turbulence in He II, J. Low Temp. Phys. 146, 5-30 (2007)

Signál druhého zvuku Směry x,y Směr z Čas (s) Pro numerickou simulaci je rozpadající se vírové klubko diskrtizováno (4000 bodů) a pro krátké úseky vypočteny směrové úhly Druhý zvuk, směr x Druhý zvuk, směr y Druhý zvuk, směr z

Rozpad turbulence v He II (pro T > 1K) Skrbek, Gordeev, Soukup: Phys. Rev. E (2003) Stalp, Skrbek, Donnelly:Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 4831 Pro t > tsat je rozpad jak mřížkové turbulence, tak turbulence generované protiproudem N a S složky klasický Rozpad hustoty vírů (vířivosti) je charakterizován mocninou -3/2

Rozpad turbulence generované protiproudem S a N složky v He II (pro T > 1K) První experiment prokazující závislost rozpadající se vířivosti na velikosti kanálu Gordeev, Chagovets, Soukup, Skrbek: J Low Temp. Phys. 138 (2005) 554 S10 S6

Submitted to Phys. Rev. E

Turbulence generovaná prouděním supratekuté složky hladina He II Čidla druhého zvuku Fontánový jev v He II He II Ag sintr topení

Rozpad turbulence generované prouděním supratekuté složky v He II

Fotografie hodinového krystalu (a) a detaily povrchu (b,c) Kmitající křemenný hodinový krystal (quartz tuning fork) Komerčně běžně dostupný piezoelektrický oscilátor, používaný jako frekvenční standard v hodinkách (215 Hz = 32 768 Hz při pokojové teplotě) Vhodný pro studium proudění plynů (vzduch, dusík, helium...) a kryokapalin He I, He II and 3He-B Levný, jednoduše použitelný a extrémně citlivý (Q ≈ 105 – 106 in vacuum at low T) a) b) c) Fotografie hodinového krystalu (a) a detaily povrchu (b,c) (J. Pešička)

Oscilace tělesa ponořeného ve vazké tekutině Jednoduchý harmonický oscilátor: Budící síla tlumení Tlumení ve vazké tekutině: Hydrodynamická přidaná hmotnost Disipativní odpor prostředí ! Fdamp je fázově posunutá vzhledem k rychlosti Pohybová rovnice:

Elektrické vlastnosti ~ Attenuator Transformer 1 kΩ Generator Lock-in amplifier Reference signal Fork Krystal je excitován ac napětím U = U0cos(ωt) Náhradní elektrický RLC obvod I0 f0 1/2 I0 f Měřený signál – proud I vyvolaný piezoelektrickým jevem Mechanický a elektrický výkon disipovaný v rezonanci musí být shodný Kalibrace Konstanta krystalu

Nízká excitace - laminární režim Blaauwgeers, Blazkova, Schmoranzer, Skrbek et al: Quartz Tuning Forks - Thermometers, Pressure-and Viscometers for Cryogenic Fluids, J. Low Temp. Phys., 146, 537-561 (2007) 24 °C f0 vac I0 vac Dfvac I0 f0 Df vacuum f Hustota krystalu  Hustota tekutiny η Dynamická vazkost S Povrch krystalu (jedné „nohy“) V Objem krystalu (jedné „nohy“) β, B, C numerické konstanty ~ geometrie β, B, C – fitovací parametry, characterize determined fork f, f0, I0 , , v0

Kinematická vazkost: 1·10-4 - 200·10-4 cm2/s Křemenný krystal jako generátor a detektor turbulence Frekvenční závislost absorpce buzeného křemenného krystalu (amplituda buzení je dána v mVrms . Plná čára je Lorentzian Pracovní látka: klasické tekutiny 1) plynné He, 78 K, do 30 bar 2) normální kapalné He (2.17 K; 4.2 K), do 30 bar kvantové kapaliny 3) supratekuté He II (1.3 K- 2.17 K), SVP Kinematická vazkost: 1·10-4 - 200·10-4 cm2/s

He gas He I He II Přechod od laminárního k turbulentnímu režimu odporu prostředí

Přechod od laminárního k turbulentnímu režimu odporu prostředí-4He Křemenný krystal jako generátor a detektor turbulence Přechod od laminárního k turbulentnímu režimu odporu prostředí-4He Detekován: (i) v He plynu při 78 K při tlacích do 30 bar (ii) v He I při 4.2 K (tlak do 30 bar) a při SVP do 2.18 K (iii) v He II do 1.3 K na křivce nasycených par (SVP) Všechny experimenty (tři hodinové krystaly A1, A2, B1) byly provedeny ve stejné tlakové komůrce ve stejném vzorku He, počínaje nejvyšší hustotou, která byla postupně snižována (s cílem zamezit případnému usazování zmrzlých částeček vzduchu nebo vody na povrchu citlivého krystalu) Vlastnosti 4He jsou velmi dobře známé a tabelované: R. J. Donnelly and C. F. Barenghi, J. Phys. Chem. Data 27 (1998) 1217. R.D. McCarty, Technical Note 631, National Bureau of Standards, Gaithers- burg, Maryland (1972); V.D. Arp, R.D. McCarty, The properties of Critical Helium Gas, Technical Report, Univ. Oregon (1998)

Přechod k turbulenci ve vazkém proudění Ve stacionárním vazkém proudění je charakterizován Kritickou hodnotou Reynoldsova čísla: kritická rychlost, kinematická vazkost a typický rozměr tělesa V proudění vyvolaném oscilujícím tělesem hraje důležitou roli: vazká hloubka vniku a lze definovat kritické Re jako Pro nízké frekvence ω je a tudíž irelevantní Se zvyšující se ω se situace postupně mění Pro vysoké frekvence ω se většina relevantní fyziky odehrává v těsné blízkosti tělesa a hloubka vniku tudíž hraje podstatnou roli. Kritická rychlost bude nezávislá na rozměrech tělesa, jestliže Lze to experimentálně prokázat ???

Kritické rychlosti (klasické tekutiny) Experimentálně ověřeno (použitím pracovních látek He I na křivce SVP a při vyšších tlacích a plynného He gas při dusíkové teplotě a různých tlacích) přes dva řády kinematické vazkosti (a přes řád hustoty) Logaritmický graf: fit dává gradient 0.48 ± 0.04 M. Blažková, D. Schmoranzer, L. Skrbek: Transition from Laminar to Turbulent Drag in Flow Due to a Vibrating Quartz Fork, Phys. Rev. E 75, 025302 (2007)

Reynoldsovo a Strouhalovo Obecně jsou k popisu proudění vyvolaného kmity ponořeného tělesa zapotřebí dvě bezrozměrná čísla Reynoldsovo a Strouhalovo Pro proudění vyvolané kmitajícím krystalem o vysoké frekvenci a malé amplitudě však předpokládáme, že charakteristickým délkovým měřítkem není jeho rozměr D, ale hloubka vniku. Prof. Čeněk Strouhal Dosazením do Re and St dostaneme:

Exaktně řešitelný případ – kmitající koule v limitu Laminární odpor prostředí Turbulentní Dosazením kinematické vazkosti He dostáváme těsně nad supratekutým přechodem 1.3 m/s pro libovolnou kouli (tj. zhruba čtyřikrát více než naše experimentální hodnota pro krystal)

Supratekuté He II Tλ Kritická rychlost přechodu od laminárního k turbulentnímu odporu prostředí v supratekutém He II pro tři krystaly A1, A2 and B1. Tato data dovolují určit teplotní závislost efektivní kinematické vazkosti, využijeme-li nalezenou závislost: Pro klasické vazké tekutiny, budeme-li uvažovat He II jako jednokomponentní kvaziklasickou kapalinu. Chybějící multiplikativní konstantu snadno určíme „sešitím“ dat při teplotě přechodu Tλ.

D. Charalambous, L. Skrbek, P.C. Hendry, P.V.E. McClintock, Čistě supratekutá kapalina Dvoukapalinový model Klasická vazká kapalina Stalp, Niemela , Vinen, Donnelly Phys. Fluids 14 (2002),1377. Stalp, Skrbek, Donnelly: Phys.Rev.Lett. 82 (1999) 4831 R.J. Donnelly and C.F. Barenghi, J. Phys. Chem. Ref. Data 27, 1217 (1998). Naše data, získaná s využitím D. Charalambous, L. Skrbek, P.C. Hendry, P.V.E. McClintock, W.F. Vinen, Phys. Rev.E 74, 036307 (2006)

Drag coefficient versus velocity in helium gas, He I and He II He gas at 78 K He I He II

Závěr Kryogenní hélium (jak 4He tak 3He) poskytuje vhodná pracovní média pro experimenty klasické a supratekuté dynamiky tekutin Klasická proudění vazkých tekutin s extrémně vysokými Re a Ra kryogenní turbulentní konvekce v heliovém plynu existence Kraichnanova režimu konvekce s obrovským rozsahem dynamických parametrů v čisté pracovní látce přechod k turbulenci studium fázových přechodů – kavitace Proudění kvantových kapalin – kvantová turbulence „prototyp“ turbulence s kvantovanou cirkulací - fundamentální otázky turbulence rozpad kvantové turbulence přechod od laminárnímu proudění ideální (supra)kapaliny ke kvantové turbulenci ověření kritéria pro Kelvinovu – Helmholtzovu nestabilitu R. Blaauwgeers, V.B. Eltsov, G. Eska, A.P. Finne, R.P. Haley, M. Krusius, J.J. Ruohio, L. Skrbek, G.E. Volovik: Shear Flow and Kelvin-Helmholtz Instability in Superfluids, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 155301 fázový diagram proudění supratekutého helia L. Skrbek: A Flow Phase Diagram for Helium Superfluids, JETP Letters 80 (2004) 474 kvantová kavitace vztah kvantové turbulence a kosmologie (Kibble-Zurek) V. B. Efimov, O. J. Griffiths, P. C. Hendry, G. V. Kolmakov, P. V. E. McClintock, and L. Skrbek Experiments on the rapid mechanical expansion of liquid 4He through its superfluid transition , Phys. Rev. E 74, 056305 (2006) V SLNT výzkum pokračuje v souladu s vědeckými záměry MFF UK a FZU AV ČR, za podpory grantového projektu GAČR 202/05/0218 Kryogenní klasická a kvantová turbulence