Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: III/2VY_32_inovace_743.

Vzd ě lávací oblast:Matematické vzd ě lávání Tematická oblast:Posloupnosti a ř ady P ř edm ě t:Matematika Výsti ž ný popis zp ů sobu vyu ž ití, p ř ípadn ě metodické pokyny: Určeno k samostatnému procvičování příkladů s následnou kontrolou výsledků Klí č ová slova:Monotónní a omezená posloupnost Druh u č ebního materiálu:prezentace Jméno autora:Mgr. Monika Klapková T ř ída/ro č ník:III. Datum vytvo ř ení:

Posloupnosti a řady Vlastnosti posloupnosti

Monotonie posloupnosti Pro každé přirozené číslo n platí: Posloupnost a n je rostoucí, jestliže a n+1 > a n Posloupnost a n je klesající, jestliže a n+1 < a n Posloupnost a n je nerostoucí, jestliže a n+1 a n Posloupnost a n je neklesající, jestliže a n+1 a n Posloupnost a n je konstantní, jestliže a n+1 = a n

Příklad 1: Rozhodněte, zda posloupnost je rostoucí nebo klesající.

Řešení příkladu 1: Rozhodněte, zda posloupnost je rostoucí nebo klesající. Porovnám výsledek rozdílu s nulou: Vzhledem k tomu, že n je přirozené číslo, musí být výsledek rozdílu kladné číslo a tudíž daná posloupnost je rostoucí.

Omezená posloupnost Zdola omezená posloupnost Posloupnost a n je zdola omezená posloupnost, právě když existuje reálné číslo d tak, že pro každé přirozené číslo n platí: a n d Shora omezená posloupnost Posloupnost a n je shora omezená posloupnost, právě když existuje reálné číslo h tak, že pro každé přirozené číslo n platí: a n h Omezená posloupnost je posloupnost omezená zdola a zároveň shora.

Rozhodněte, zda posloupnost je shora nebo zdola omezená. Příklad 2:

Řešení příkladu 2:Rozhodněte, zda posloupnost je shora nebo zdola omezená. Určíme-li prvních 7 členů dané posloupnosti, jsou to čísla 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, tak vidíme, že posloupnost dosahuje nejvyšší hodnoty 1 a nejnižší hodnoty – 1, tudíž posloupnost je omezená shora číslem 1 a zdola číslem –1. Z toho plyne, že posloupnost je omezená.

Příklad 3: Vyberte jednu správnou odpověď: Posloupnost je A) omezená zdola a rostoucí B) omezená a rostoucí C) omezená a klesající D) není omezená zdola a je klesající E) není omezená shora a je klesající

Řešení příkladu 3 Správná odpověď je c) Platí: Posloupnost je omezená shora číslem 0,5 a zdola číslem 0 a je klesající.

Literatura a zdroje: Odvárko O.: Posloupnosti a řady, Prometheus, Praha, 1995 Petáková J.: MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, Prometheus, Praha, 2002