Princip a možnosti matematického modelování

Obsah Úvod K MATEMATICKÉMU MODELOVÁNÍ MKP OBECNě ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Možnosti modelování Závěr

? 1. ÚVOD Prof. A. Myslivec: „přírodu nelze vystihnout žádnými čísly” Alternativní návrh stavební jámy stanice Veleslavín Jáma – realizace 3.KÚ – pohled na napojení rampy do jámy (květen 2011) 2D model MKP Matematicky model je nastroj pro pochopen problemu, nikdy vsak ne presnym resenm. Pro jeho ucelne vyuzit je nutne znat jeho moznosti a omezen. Model vzdy zjednodusuje velmi komplexn realitu. Je nutno dbat na to, aby byly vystihnuty nejdulezitejs aspekty reseneho problemu.

1. ÚVOD METODY ŘEŠENÍ ÚLOH GEOMECHANIKY OBSERVAČNÍ SEMIANALYTICKÉ ANALYTICKÉ FYZIKÁLNÍ MODELOVÁNÍ NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ V minulosti převládal zájem o analytické metody a fyzikální modelování. Observaˇcní: Spolehnutí na pozorování, analogii a zkušenost Semianalytické: Kombinace observaˇcních a matematických pˇrístup ° u. Statistika, extrapolace, bez porozumˇení fyzikální podstaty jev°u Analytické a numerické: Idealizace geologického prostˇredí matematickým modelem. Uzavˇrená (analytická) a numerická ˇrešení. V minulosti pˇrevládal zájem o analytické metody a fyzikální modelování (modelové zkoužky ve zmenšeném mˇeˇrítku).

1. ÚVOD Analytické metody řeší soustavu diferenciálních rovnic analytickými prostředky (s využitím Airyho funkce napětí) malé nároky na přípravu vstupních dat krátká doba výpočtu výsledek dostáváme ve tvaru funkce větší míra zjednodušení daného modelu (např. homogenní prostředí, kruhový výrub)

1. Úvod FYZIKÁLNÍ NUMERICKÉ MODELOVÁNÍ Tunel Dobrovského (KRÁLOVOPOLSKÝ) VUT v Brně, doc. Weiglová MKP TUNEL RIB VUT Co se týče ověřování, je situace u obou typů modelů dosti podobná. Principy fyzikální podobnosti a modelování S rozvojem výpočetní techniky a se širokým zpřístupněním počítačů se výrazně rozšířily různé metody matematického modelování a simulace. V mnoha oborech, též v automatizační technice a elektrotechnice, ustoupilo, podle autorova názoru ne zcela opodstatněně, fyzikální modelování do pozadí. Fyzikální model obvykle postrádá výhody zmíněné v souvislosti s pořízením a vyšetřováním matematické verze. Jeho mimořádnou předností však je, že jde o fyzikální realitu, jež je vždy experimentálně ověřována za skutečných fyzikálních podmínek. Z nich některé mohou být známy pouze částečně či matematicky popsatelné pouze nedokonale nebo, v krajním případě, jsou jejich znalosti zcela nedostatečné. Matematickému modelování nelze upřít zejména flexibilitu, způsobilost pro sestavování komplexních modelů bez ohledu na média – nositele energie a informace – a výhodnost, pokud jde o generování širokého spektra dat v přehledných souborech. Dále, matematický model nevyžaduje materiál ani dílenskou práci, jeho softwarové pořízení namnoze vystačí s výrazně nižšími náklady pouze na práci programátorů a na amortizaci počítače a při jeho ověřování či výzkumu na něm se lze obejít bez často drahých a na zařízení a personál náročných laboratoří nebo zkušeben. Avšak, přes všechny své přednosti, matematický model zůstává pouhou abstrakcí, jež vyjadřuje matematickou reprezentaci řešeného problému. Ta spočívá ve formulaci jeho základních diferenciálních rovnic, které lze v případech síťové interpretovatelnosti, u uvažovaných soustav často možné, sestavit s pomocí abstraktního modelu z ideálních prvků (viz např. [5]). Míra vystihnutí skutečnosti zde ovšem závisí na míře podchycení existujících vlivů. To je dáno úrovní znalostí fyzikální povahy problému a stupněm dokonalosti matematického popisu působících jevů.

1. Úvod NUMERICKÉ MODELY převádí soustavu diferenciálních rovnic na soustavu lineárních algebraických rovnic menší míra zjednodušení skutečnosti - možno zahrnout nehomogenitu, tvar díla.... větší časová náročnost - přípravy dat, výpočtu a vyhodnocení výsledků řešení dostáváme nikoliv ve tvaru funkce, ale ve tvaru hodnot v diskrétních bodech sítě Mezi moderními metodami napěťově-deformační analýzy dnes jednoznačně dominuje metoda konečných prvků (dále jen MKP), používaná i v jiných oblastech inženýrských výpočtů (vedení tepla, proudění kapalin, elektřina a magnetismus).

1. Úvod ZÁKLADNÍ TYPY NUMERICKÝCH METOD Metoda konečných diferencí (sítí) (Finite diference method – FDM) Metoda konečných prvků (Finite element method – FEM) Metoda hraničních prvků (Boundary element method – BEM) Metoda oddělených prvků (Distinct element method – DEM) Mezi moderními metodami napěťově-deformační analýzy dnes jednoznačně dominuje metoda konečných prvků (dále jen MKP), používaná i v jiných oblastech inženýrských výpočtů (vedení tepla, proudění kapalin, elektřina a magnetismus).

1. ÚVOD Metoda konečných diferencí (sítí) Řešenou oblast pokryjeme sítí uzlových bodů v nich provedeme náhradu derivací příslušnými diferencemi a řešíme soustavu vzniklých algebraických lineárních diferenčních rovnic. 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 =𝑓 Eliptických parciálních diferenciálních rovnic 2.řádu. – vedení tepla Hlavní myšlenka metody sítí je ve své podstatě velmi prostá. Při řešení diferenciální rovnice nahradíme derivace diferencemi a řešíme potom soustavu takto vzniklých algebraických lineárních diferenčních rovnic. .Řešíme je metodami pro řešení soustavy lineárních rovnic. Zatím se jí však většinou používájen u lineárních diferenciálních rovnic, neboť po nahrazení derivací dostaneme soustavu lineárních rovnic, na jejichž řešení máme vypracovánu řadu metod. stacionárního potenciálového proudění (tj. např vedení tepla nebo eletrostatické pole) 𝑢 𝑖−1,𝑗 −2 𝑢 𝑖𝑗 + 𝑢 𝑖+1,𝑗 ∆ 𝑥 2 + 𝑢 𝑖−1,𝑗 −2 𝑢 𝑖𝑗 + 𝑢 𝑖+1,𝑗 ∆ 𝑦 2 = 𝑓 𝑖,𝑗

1. ÚVOD Metoda hraničních prvků snižuje dimenzi úlohy - 3D na 2D apod. diskretizuje se pouze hranice řešené oblasti - diskretizace konstantními prvky uvnitř oblasti dostáváme přesné řešení z numericky získaných hodnot na hranici řešení předpokládá homogenní prostředí nutno znát pro jednotlivé typy úloh fundamentální řešení (publikována v literatuře) Metoda hraničních prvků Metoda hraničních prvků se začala rozvíjet především v souvislosti s potřebou snížit dimenzi výsledné soustavy rovnic, která byla výsledkem aplikace metody konečných prvků , a to především v případě prostorových modelů. Hlavní výhodou této metody je totiž snížení dimenze úlohy o jedničku, neboť se diskretizuje  nikoliv celá uvažovaná oblast, ale pouze její hranice. Na každém hraničním prvku se aproximuje přesné řešení úlohy z uzlových bodů pomocí  interpolačních funkcí. Po vyřešení odpovídající soustavy rovnic pro neznámé hodnoty posunů na hranicích oblasti se odpovídající hodnoty posunů resp. napětí uvnitř oblasti stanoví analyticky na základě tzv. fundamentálního řešení. Nevýhodami této metody je především nutnost znalosti fundamentálního řešení a dále nutný předpoklad homogenního prostředí uvnitř modelované oblasti. V  souvislosti s rozvojem stále výkonnější výpočetní techniky se tato metoda dostává poněkud do pozadí (Hrubešová, 2003). Kelvinovo řešení

1. ÚVOD METODA ODDĚLENÝCH PRVKŮ pro modelování diskontinua modeluje se interakce tuhých i deformovatelných bloků pro výpočet je využita modifikovaná explicitní metoda konečných diferencí - ve výpočetním cyklu se řeší dynamická rovnováha umožňuje  modelovat  statické a dynamické úlohy, porušení látek včetně velkých deformací, smykání a separace bloků, modelování proudění kapalin v puklinách  a  sdružené úlohy Metoda oddělených elementů je metoda vhodná pro modelování diskontinua . Modeluje se vzájemná interakce tuhých nebo deformovatelných bloků, přičemž úloha diskontinuit je dominantní. Deformovatelné bloky se dále dělí na trojúhelníkové zóny , přičemž je pro výpočet přetvoření, napětí a vnitřních sil na základě hodnot rychlostí v uzlech zón využita modifikovaná explicitní metoda konečných diferencí. Úloha o spolupůsobení bloku se svým okolím je výpočetně řešena pro tak krátký časový okamžik, že impuls od jednoho bloku může být v daném výpočetním kroku předán pouze na jeho kontakty. Interakci a pohyb sousedících bloků lze pak popsat explicitními rovnicemi a šíření impulsů vyjádřit velkým počtem výpočetních cyklů, v nichž dochází k postupnému vyrovnávání nerovnovážného stavu bloků a kontaktů (dynamická relaxace) .Ve výpočetním cyklu se tedy řeší dynamická rovnováha a primárně neznámými hodnotami jsou hodnoty rychlostí v uzlech zón. Tento algoritmus umožňuje  modelovat  statické a dynamické úlohy pro nespojité prostředí bloků a kontaktů s respektováním fyzikální nelinearity , plastického tečení a porušení látek včetně velkých deformací, smykání a separace bloků, modelování proudění kapalin v puklinách  a  řešení sdružené mechanicko-hydraulické popř. mechanicko-termální úlohy (Hrubešová, 2003).

1. ÚVOD METODA KONEČNÝCH PRVKů (MKP) Nejčastěji užívaná, systematická a univerzální metoda pro numerické řešení problému mechaniky, patří mezi variační metody. Mezi moderními metodami napěťově-deformační analýzy dnes jednoznačně dominuje metoda konečných prvků (dále jen MKP), používaná i v jiných oblastech inženýrských výpočtů (vedení tepla, proudění kapalin, elektřina a magnetismus). Obecnější po jetí aproximace je např. tzv. metoda konečných prvků (MKP, finite element method FEM), kdy celé těleso je rozloženo na velké množ- ství podoblastí (prvků) a na nich jsou definovány aproximační funkce (lineární, kvadratické, . . .), jejichž kombinací pak dostaneme výslednou funkci zkoumané veličiny v tělese. . tav porušení tav porušení, zobrazení totálních posunutí, PLAXIS 3D Tunnel , PLAXIS 3D Tunnel [73]

2. MKP OBECNĚ 2D MKP 3D MKP Pravé a nepravé 3D, ve 2D nutno zavést vliv třetí osy 3D modely lépe vystihují chování masivu při tunelování, používají se především při řešení složitějších úloh, jako je například křížení tunelů, jejich rozplety a podobně. Nevýhodou je časová (ať už při zadávání či výpočtu) a finanční náročnost.

2. MKP OBECNĚ DEFORMAČNÍ VARIANTA MKP Řešíme úlohu v posunech. SILOVÁ VARIANTA MKP Řešíme úlohu v napětích. HYBRIDNÍ VARIANTA MKP Řešíme úlohu pro posuvy i napětí. Téměř všechny komerční programy jsou založeny na deformační variantě MKP. Deformační varianta vychází z matice tuhosti prvku, zatížení je převedeno na ekvivalentní uzlové síly a z nich jsou pak stanoveny uzlové posuny. Silová varianta vychází z matice poddajnosti prvku, zatížení je převedeno na ekvivalentní uzlové posuny a z nich jsou následně vypočteny uzlové síly. Díky menšímu počtu hledaných veličin se častěji používá první zmíněná varianta deformační. Zůstávají-li během deformace bodu původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná deformace (tlustá deska) Rovinná napjatost nastává v případě, že nenulové složky napětí jsou rovnoběžné s jednou rovinou (rovina napjatosti), přičemž všechny složky ve směru kolmém na tuto rovinu jsou rovny nule (tenká deska)

2. MKP OBECNĚ Výhody MKP pracovat z komplexní geometrií řešené oblasti provádět komplexní analýzu uvažovat komplexní zatížení analyzovat fáze výstavby Můžeme pracovat z komplexní geometrií řešené oblasti: Největší přínos MKP. Můžeme provádět komplexní analýzu: Vibrace Proměnná namáhání Nelineární chování Přenos tepla Proudění Můžeme uvažovat komplexní zatížení: Zatížení v uzlech prvků (bodová zatížení). Zatížení prvků (tlak, teplota, setrvačné síly). Časově či frekvenčně závislé zatížení. Můžeme zavést obecná omezení: Analyzovat fáze výstavby apod..

2. MKP OBECNĚ Nevýhody MKP Výsledkem není nikdy obecně platné řešení – vždy se jedná o chování numerického modelu Řešení numerického modelu je aproximační – tj. nepřesnost jednoho výsledku ovlivní i další následující výsledek Nevýhody MKP Určité (specifické) numerické řešení platí jen pro určitý (specifický) problém. Výsledkem není nikdy obecně platné řešení – vždy se jedná o chování numerického modelu Řešení numerického modelu je aproximační (to vede k tzv. dědičným chybám – tj. nepřesnost jednoho výsledku ovlivní i další následující) Pro vytvoření dobrého numerického modelu a jeho vyhodnocení je nutné mít jednak zkušenost a jednak určité odborné znalosti. Je nutné používat odpovídající software a poměrně výkonná PC (zvláště pro 3D úlohy). Příprava vstupních dat a získání výsledků je poměrně časově náročné.

2. MKP OBECNĚ Nevýhody MKP Pro vytvoření dobrého numerického modelu a jeho vyhodnocení je nutné mít zkušenost a určité odborné znalosti. Vlastnit software a poměrně výkonné PC (zvláště pro 3D MKP) Příprava vstupních dat a získání výsledků je časově náročné. Nevýhody MKP Určité (specifické) numerické řešení platí jen pro určitý (specifický) problém. Výsledkem není nikdy obecně platné řešení – vždy se jedná o chování numerického modelu Řešení numerického modelu je aproximační (to vede k tzv. dědičným chybám – tj. nepřesnost jednoho výsledku ovlivní i další následující) Pro vytvoření dobrého numerického modelu a jeho vyhodnocení je nutné mít jednak zkušenost a jednak určité odborné znalosti. Je nutné používat odpovídající software a poměrně výkonná PC (zvláště pro 3D úlohy). Příprava vstupních dat a získání výsledků je poměrně časově náročné.

2. MKP OBECNĚ Co přináší MKP projektantovi Jednoduché zavedení komplexní geometrie Uvažovat objekty složených z různých materiálů Možnost řešit časově závislé úlohy. Řešení lineárních a nelineárních úloh. Jedna metoda může řešit celou škálu problémů od mechaniky tuhých těles, až po proudění tepla. Jednoduché zavedení komplexní geometrie, nepravidelných objektů složených z různých materiálů a majících komplexní okrajové podmínky. Možnost řešit ustálené stavy (statickou stabilitu, ustálené proudění apod.) a časově závislé úlohy. Řešení lineárních a nelineárních úloh. Jedna metoda může řešit celou škálu problémů od mechaniky tuhých těles, kapalin přes chemické reakce, proudění tepla a zvuku až po úlohy biomechaniky.

2. MKP OBECNĚ Co přináší MKP projektantovi Software může být na normálních PC. Propojení s programy CAD Uživatelsky příjemné rozhraní Pre a post procesory usnadňující analýzu. Co přináší MKP projektantovi Software může být na normálních PC. Programy MKP jsou dnes propojeny s programy CAD – přenos geometrie vstupních dat, možnost výstupů v CAD (např. výkresy výztuže apod.). V současné době propracovaní uživatelsky příjemné rozhraní programů, poměrně kvalitní nástroje pro tvorbu sítě konečných prvků, sofistikované pre a post procesory usnadňující analýzu.

2. MKP OBECNĚ Kroky uživatele Stanovení cílů modelování Převedení reality do geotechnického modelu Vytvoření numerického modelu Zjištění “chování” numerického modelu – numerický výpočet Vyhodnocení výsledků

2. MKP OBECNĚ Stanovení cílů modelování stabilita svahů napěťodeformační stav v okolí podzemního díla statické řešení výztužní konstrukce sdružená úloha

2. MKP OBECNĚ Převedení reality do geotechnického modelu Rozdělení liniové stavby na kvazihomogenní celky – (např. U NRTM technologické třídy výrubu) Pro každý celek udělat na základě IG průzkumu Schematický podélný geotechnický řez Ve vybraných řezech udělat geotechnický model – 2D či 3DSchematický podélný geotechnický řez

2. MKP OBECNĚ Vytvoření numerického modelu redukce na rovinný model zjednodušení geometrie, zohlednění pouze podstatných vlivů Ostění a tvar tunelu např. Dle vzorových listů Podmínky plasticity pro materiály Velikost řešené oblasti Zatížení

2. MKP OBECNĚ Vytvoření numerického modelu Ostění a tvar tunelu např. Dle vzorových listů

2. MKP OBECNĚ Zjištění “chování” numerického modelu – výpočet První model řešený v jakémkoliv programu nebude bezchybný. Jedná se o modelování – tj. měla by být série simulací Pokud nelze sestavit model vystihující základní charakteristiky řešeného problému (například 2D výpočet anisotropního prostředí), je možno pomocí série simulací získat mezní hodnoty výsledků a na jejich základě provést odhad výsledků.

2. MKP OBECNĚ Vyhodnocení výsledků Deformace horní části levého opěří ve druhé fázy výpočtu –

2. MKP OBECNĚ Rozsah numerického modelu Hranice by měly být v místech , kde se již neočekávají změny napětí resp. deformací Model musí mít své okraje dostatečně daleko od oblastí, kde se mění napětí a přetvoření (tj. oblastí našeho zájmu) z důvodu možného ovlivnění okrajovými podmínkami, které zasahují do určité vzdálenosti od hranic řešené oblasti

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Řešená spojitá oblast je rozdělena (diskretizována) na jednoduché geometrické tvary – prvky (elementy). e – prvek I,J,K - uzly Co se děje „uvnitř“ programu Deformační varianta MKP Prvky použité při rozdělování oblasti jsou mezi sebou spojeny v uzlech na společných hranách a tvoří tak síť konečných prvků Řešená spojitá oblast je rozdělena (diskretizována) na jednoduché geometrické tvary, které se nazývají prvky. Prvky použité při rozdělování oblasti jsou mezi sebou spojeny v uzlech na společných hranách a tvoří tak síť konečných prvků. Diskretizace řešené úlohy sítí konečných prvků významně ovlivňuje výsledky numerické analýzy

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Jednorozměrné prvky

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Plošné prvky

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Prostorové prvky

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Prvkům jsou přiřazeny materiálové vlastnosti (konstitutivní vztah) a jejich zatížení přetvárné vlastnosti modul pružnosti E, smykový modul pružnosti, Poissonovo číslo pevnostní vlastnosti soudržnost, úhel vnitřního tření popisné vlastnosti objemová tíha, pórovitost Lineární materiál - pružný ideálně pružnoplastický (MC)

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Zavedení okrajových podmínek - geometrické - silové (přitížení povrchu, vnitřní tlak vody) Geometrické – omezení na hranicích či jejich částech

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Pro každý prvek se nalezne vztah mezi posuny v uzlech a v libovolném místě prvku. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproximují ve formě mnohočlenů 𝑢= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 Neznámá veličina (např. posuny) se určuje výpočtem pouze v určitých bodech sítě konečných prvků zvaných uzly. Uvnitř prvku je pak vyjádřena (aproximována) na základě uzlových hodnot – obr. 2.4. Pro aproximaci pole posuvů (obr.1a) je možné využít buď polynomickch aproximačních funkcí vysokých řádů (obr.1b), nebo elegantněji rozdělit měřený interval na více částí a v každé z nich použít pro aproximaci lineární funkci (obr.1c). ● Této skutečnosti využívá deformační varianta MKP – aproximují se hodnoty posunutí v některých bodech každého prvku (tzv. uzlech) většinou pomocí lineárních nebo kvadratických funkcí (obr.1c). 𝑢= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 𝑢= 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 3 𝑥 3

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Obdobně se vyjádří přetvoření pomocí zobecněných uzlových posunů, zavedou se vnější síly (zatížení) a definuje se celková potenciální energiu prvku P = Pi – Pe Pi energie vnitřních sil (celková energie napětí) Pe práce vnějších sil Deformační energie

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Neznámé hodnoty posunů v uzlových bodech se stanoví z podmínek minimalizace funkcionálu potenciální energie P. Po derivaci se tedy získá základní algebraická rovnice rovnice MKP 𝐾 11 1 ⋯ 𝐾 1𝑛 1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾 𝑛1 1 ⋯ 𝐾 𝑛𝑛 1 𝑢 1 1 ⋮ 𝑢 𝑛 1 = 𝐹 1 1 ⋮ 𝐹 𝑛 1 Matice tuhosti A je pásová (vyplývá z vlastností bázových funkcí), šířka pásu závisí na číslování uzlů.

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Dále se sestaví matice tuhosti celé konstrukce z prvkových algebraických rovnice 𝐾 11 2 ⋯ 𝐾 1𝑛 2 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾 𝑛1 2 ⋯ 𝐾 𝑛𝑛 2 𝑢 1 2 ⋮ 𝑢 𝑛 2 = 𝐹 1 2 ⋮ 𝐹 𝑛 2 𝐾 11 1 ⋯ 𝐾 1𝑛 1 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾 𝑛1 1 ⋯ 𝐾 𝑛𝑛 1 𝑢 1 1 ⋮ 𝑢 𝑛 1 = 𝐹 1 1 ⋮ 𝐹 𝑛 1 𝐾 11 3 ⋯ 𝐾 1𝑛 3 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾 𝑛1 3 ⋯ 𝐾 𝑛𝑛 3 𝑢 1 3 ⋮ 𝑢 𝑛 3 = 𝐹 1 3 ⋮ 𝐹 𝑛 3 𝐾 11 ⋯ 𝐾 1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝐾 𝑁1 ⋯ 𝐾 𝑁𝑁 𝑢 1 ⋮ 𝑢 𝑁 = 𝐹 1 ⋮ 𝐹 𝑁

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Před vlastním řešením se zavedou okrajové podmínky a následně se řeší výsledné soustavy algebraických rovnic Ku=F Kde K globální matice tuhosti F vnější zatížení u neznámé (posuny)

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Výpočet výsledků na konečných prvcích Z vektoru u posunů spočteme posuny na prvcích Pro každý prvek stanovíme poměrné deformace Pro každý prvek stanovíme napětí

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Hlavní zdroje chyb v typické úloze MKP chyby diskretizace, chyby ve formulování úlohy numerické chyby.

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Chyby diskretizace plynou z transformování kontinua do modelu konečných prvků a mohou být vztaženy na modelování tvaru hranice řešené oblasti, hraniční podmínky a aproximací sítí konečných prvků. Chyba v diskretizace- hrubé modelování hranice vnitřní oblasti - výrubu Zjemněním prvků je chyba značně eliminována. Ukázky aproximace kruhového výrubu

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Chyby ve formulování úlohy spočívají v použití prvků, které nepřesně popisují chování či fyzikální jev. Např. Pokud chceme pomocí nosníkového prvku modelovat nelineární průběh veličiny, dostaneme s řešení MKP lineární průběh (vlastnost použitého nosníkového prvku). Dělení geotextilie na prutové prvky; Příklad modelování geo- textilie: b) geometrický model,

3. ZÁKLADNÍ Principy 2D MKP Numerické chyby vyskytují se jako výsledek numerického výpočetního postupu a zahrnují chyby v zaokrouhlování čísel a krácení počtu desetinných míst. Iterační chyby (týkají hlavně vývojářů programů). uživatel může snížit numerické chyby např. zadáním veličin adekvátní hodnotou (soudržnost zemin jen v celých kPa)

4. Možnosti modelování Interpretace laboratorních zkoušek (rozdělení napětí, lokalizace deformace) Colours represent vertical stresses (red: compressive). Grasselli G. 2007

4. Možnosti modelování Interpretace údajů z monitoringu využití pro plánování umístění monitorovacích bodů Ground heave and and heading displacements (3D model) Serkan U. 2006

4. Možnosti modelování Vývoj jednoduchých empirických vztahů na základě numerických studií (například pro určení deformace budovy nad výrubem tunelu) Mroueh and Shahour (2003)

4. Možnosti modelování Numerické metody usnadňují pochopení analytických a semianalytických metod a umožňují jejich další rozvoj ZJEDNODUŠEN¯ MODEL PRO BAYESOVSKOU AKTUALIZACI PARAMETRŮ Výsledkem jsou „modelové“ posuvy v libovolném bodě v závislosti na parametrech modelu Šejnoha J. 2013

4. Možnosti modelování Numerické metody umožňují rizikové analýzy Náhodná čísla na vstupu Monte Carlo, LHS Provedení modelu deterministické v cyklech pro sadu proměmmých Rozsah pravděpodobnosti Spolehlivostní analýza Peschl, 2004 CDF SYSTÉM RESPONSE ODEZVA SYSTÉMU Performance function Peschl, 2004

5. ZÁVĚR Nejdůležitější je správné vystižení materiálových vlastností hornin a zemin. Dnešní programy mají zabudovány speciální prvky či materiálové vztahy, které neodpovídají naším zvyklostem a je tedy nutné si je osvojit. Chyby je možno odhalit jen pokud jednoduchý model postupně zesložiťujeme.

5. ZÁVĚR I ten nejdokonalejší numerický model je pouze přiblížení skutečnosti, lineární prvky dávají nespojité výsledky pro přetvoření a napětí. Shoda modelu s realitou závisí na podrobnosti a přesnosti vstupních údajů, na zkušenostech statika, ale i na kvalitě realizace stavby. Podrobnější či komplikovanější model nemusí být zárukou přesnějších výsledků!!!!!

5. ZÁVĚR V případě složitých geologických podmínek a současného spolupůsobení více vlivů jsou numerické metody “jedinou záchranou”

Děkuji za pozornost