Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu Orbis pictus 21. století

Výkon střídavého jednofázového proudu II: vzorce a příklady Orbis pictus 21. století Výkon střídavého jednofázového proudu II: vzorce a příklady Obor: Elektrikář Ročník: 1. Vypracoval: Ing. Ivana Jakubová OB21-OP-EL-ZEL-JAK-U-1-002 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Obsah prezentace: opakování: zdánlivý, činný a jalový výkon při čistě harmonickém napětí a proudu vztahy mezi nimi: trojúhelník výkonů příklady

Zdánlivý, činný a jalový výkon jednofázového střídavého proudu Zdánlivý výkon S=UI [VA] dimenzování strojů a vedení Činný výkon P=UIcosφ [W] spotřebovává se, přeměňuje se na jiné formy (tepelnou, mecha- nickou, světlo,…) Jalový výkon Q=UIsinφ [VAr] přelévá se obvodem, nespotřebovává se

Trojúhelník výkonů Přepona: zdánlivý výkon (je největší) S=UI je pravoúhlý trojúhelník, podle kterého si snadno zapamatujete vztahy mezi výkony, které platí při čistě harmonickém napětí a proudu. Přepona: zdánlivý výkon (je největší) S=UI Odvěsna proti úhlu φ: jalový výkon Q=S.sinφ S2 = P2 + Q2 (Pythagorova věta) cos φ = P/S účiník sin φ = Q/S tg φ = Q/P Odvěsna při úhlu φ: činný výkon P=S.cosφ Jestliže znáte kterékoli 2 údaje ze skupiny S, Q, P, φ, můžete zbývající dopočítat.

Elektrická práce (spotřeba elektrické energie) je dána součinem činného výkonu a času W = Pt W = UI cosφ.t Její jednotkou je joule (J), ale častěji se udává v jednotkách odvozených z výše uvedeného vztahu: wattsekunda Ws = J watthodina Wh = 3600 J kilowatthodina = 1000 Ws Měří se elektroměrem.

Příklad 1 Jednofázový elektromotor má zdánlivý výkon 1000 VA. Wattmetrem byl změřen činný výkon 800 W. Majitel motoru se domnívá, že jalový výkon je 200 W. Je jeho domněnka správná? Jaký je jalový výkon a jaký je účiník? Řešení: Zdánlivý výkon S je sice součtem činného P a jalového Q výkonu, ne však součtem algebraickým, ale vektorovým – viz trojúhelník výkonů. Domněnka majitele je proto nesprávná. Jalový výkon vypočteme z trojúhelníka výkonů (z Pythagorovy věty). Z trojúhelníka výkonů určíme také účiník.

Příklad 1 – řešení Náčrt trojúhelníka výkonů: S2 = P2 + Q2 => Q2 = S2 - P2 Q = √(10002-8002) = 600 VAr účiník cos φ= P/S cos φ= 800/1000 = 0,8 můžeme určit také fázový posuv φ = 36,9° Jalový výkon je mnohem větší, než se domníval majitel motoru. Činí ne 200 VAr, ale 600 VAr. Účiník je 0,8 a fázový posuv mezi napětím a proudem je 36,9°.

Příklad 2 Vypočtěte, jaký zdánlivý, jalový a činný výkon má motor pračky, který při napájení harmonickým síťovým napětím 230 V odebírá proud 8 A. Účiník je 0,85. Řešení: Základní vztahy a postup: Známe efektivní hodnoty proudu a napětí a také účiník: zdánlivý výkon S = UI činný výkon P = UI cosφ jalový výkon Q = UI sinφ – potřebujeme zjistit sinφ Z účiníku můžeme určit fázový posun a pak i jeho sinus: cosφ => φ => sin φ => Q = UI sinφ Jiný postup výpočtu jalového výkonu z pravoúhlého trojúhelníku výkonů (Pythagorova věta): S2 = P2 + Q2 => Q = √(S2 - P2) .

Příklad 2 - řešení Řešení: zdánlivý výkon S = UI = 230·8 = 1840 VA činný výkon P = UI cosφ = 1840 · 0,85 = 1564 W jalový výkon Q = UI sinφ známe účiník cosφ = 0,85 => φ=31,8°, sin φ = 0,5268 a Q = 1840 · 0,5268 = 969,3 VAr jiný postup výpočtu jalového výkonu: S2 = P2 + Q2 => Q = √(S2 - P2) = √(18402 - 15642) = =1840 √(12 – 0,852) = 969,3 VAr Motor má činný výkon 1564 W. Jalový výkon je 969,3VAr a zdánlivý výkon činí 1840 VA.

Příklad 3 Vypočtěte, jaký proud protéká přívodními vodiči motoru vysavače o činném výkonu 1800 W, je-li fázový posuv mezi čistě sinusovým síťovým napětím 230 V a proudem 10°. Jaké ztráty vznikají na přívodních vodičích, je-li jejich ohmický odpor 2,5 Ω? Jak se proud a tepelné ztráty na přívodech změní při fázovém posuvu 45°? ---------------------------------------------------------------------- Řešení: Potřebné vzorce a jejich úprava činný výkon P = UI cosφ => I = P/(Ucos φ) fázový posuv je dán, lze zjistit účiník cos φ tepelné ztráty na odporu přívodních vodičů Pt = RI2 Pt = R [P/(Ucos φ)] 2 Již před dosazením je vidět, že ztráty na přívodech jsou silně závislé na účiníku (cos φ je ve vztahu pro ohmické ztráty ve 2. mocnině).

Příklad 3 - řešení pro φ = 10°: účiník cos φ = 0,9848 I = P/(Ucos φ) = 1800/(230 · 0,9848) = 7,947 A Pt = RI2 = 2,5 · 7,9472 =157,88 158 W pro φ = 45°: účiník cos φ = 0,7071 I = P/(Ucos φ) = 1800/(230 · 0,7071) = 11,068 A Pt = RI2 = 2,5 · 11,0682 =306,238 306 W Při vzrůstu fázového úhlu z 10° na 45° poklesl účiník z 0,985 na 0,707 (tj. přibližně 1,4x). Ve stejném poměru, jako poklesl účiník, vzrostl protékající proud, a to z 8 A na 11 A. Jím způsobené ztráty na ohmickém odporu přívodů se však téměř zdvojnásobily: vzrostly ze 158 W (cca jedna desetina činného výkonu) na 306 W (pro φ=45° jedna šestina činného výkonu!).

Příklad 4 Cívka o indukčnosti 250 mH a ohmickém odporu 3 Ω byla připojena na síťové napětí (230 V, 50 Hz). Jaký byl odebíraný činný, jalový a zdánlivý výkon? Řešení: Fázový posuv mezi napětím a proudem dokážeme určit ze zadaných parametrů cívky, a to z poměru jejího ohmického odporu RL (tomu bude úměrný činný výkon) a její impedance Z na zadaném kmitočtu (té je úměrný zdánlivý výkon S). Z fázového posunu určíme účiník. Pak vypočteme proud odebíraný ze sítě jako podíl napětí a impedance cívky. Z toho určíme zdánlivý výkon a pomocí trojúhelníka výkonů i ostatní hledané výkony.

Příklad 4 - řešení Reaktance cívky (na frekvenci sítě): XL = ωL = 2πfL = 2·3,14 · 50 · 250 · 10-3 =78,54 Ω Impedance cívky (na frekvenci sítě): Z=√(RL2+ XL2) = √(32+ 78,542)=78,60 Ω Účiník cosφ= RL/Z = 3/78,60 = 0,0382 Fázový posuv φ=87,81° => sin φ = 0,9993 Proud odebíraný ze sítě I = U/Z = 230/ 78,60 =2,926 A Zdánlivý výkon S = UI = 230 · 2,926 = 673,03 VA Činný výkon P = S · cosφ = 673,03 · 0,0382 = 25,71 W Jalový výkon Q = S·sinφ = 673,03· 0,9993 = 672,54 VAr Je vidět, že reaktance cívky výrazně převažuje nad odporem jejího vinutí (který by u ideální cívky byl nulový). Proto účiník je velmi malý a činný výkon je mnohem menší než jalový. Přestože se spotřebovává jen malý činný výkon, přívodem teče dosti velký proud a zdánlivý výkon je 673 VA.

Děkuji Vám za pozornost Střední průmyslová škola Uherský Brod, 2010 Ing. Ivana Jakubová Střední průmyslová škola Uherský Brod, 2010 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky