BRVKA Leonard Paul Euler (1707 – 1783)

Pod označením INVERZNÍ proces chápeme opačný děj, takový, který probíhá opačným směrem, např. tání a tuhnutí. V matematice také známe inverzní (opačné) procesy: sčítání × odčítání, násobení × dělení, umocňování × odmocňování ….. Z minula: BRVKA  K prostému zobrazení f existuje inverzní zobrazení f -1 které původním obrazům přiřazuje jejich vzory.  K prosté funkci f existuje inverzní funkce f -1, která původním funkčním hodnotám přiřazuje jejich vzory – hodnoty x z definičního oboru.

 Definice: Mějme PROSTOU funkci f(x) s definičním oborem D(f) a s oborem hodnot R(f). Inverzní funkcí k funkci f nazveme funkci f -1 s definičním oborem R(f), která každému y přiřadí právě to x, pro které platí y = f(x).  Graf inverzní funkce k f je osově souměrný s grafem f podle osy 1. a 3. kvadrantu. Pokud není f prostá, provedeme zúžení definičního oboru. Vezmeme jen „vhodnou část“ funkce. BRVKA

 Definice: Exponenciální funkce je každá funkce s předpisem f(x) = a x, kde a je reálné číslo různé od 1.  Číslo a se nazývá základ, x je exponent. BRVKA Vlastnosti: D(a x ) = R, R(a x ) = R+. Není ani sudá ani lichá. Nemá extrémy, je ZDOLA omezená, není periodická. Průsečík s osou x nemá, osa x je její (jediná) asymptota. Průsečík s osou y je [0,1]. Monotónnost se liší podle základu a. RostoucíKlesající Je PROSTÁ, proto k ní existuje inverzní funkce - logaritmická.

 Definice: Logaritmická funkce f(x) = log a x je inverzní funkce k exponenciální funkci f -1 (x) = a x.  Číslo a se nazývá základ logaritmu, x je argument. BRVKA Vlastnosti: D(log a x )= R(a x ) = R+, R(log a x ) = D(a x ) = R. Není ani sudá ani lichá, nemá extrémy, není periodická. Není omezená, osa y je (jediná) asymptota, je prostá. Průsečík s osou x je [1,0], log a x = 1 pro libovolné a. Monotónnost se liší podle základu a. RostoucíKlesající

 Matematická konstanta (podobně jako číslo π).  Značí se e, jeho hodnota je e = 2,71828 ….  Je to základ přirozených logaritmů. BRVKA  Logaritmování posouvá operaci o stupeň níž.

 Exponenciální závislost vykazují různé procesy, např.: 1) Radioaktivní rozpady 2) Stínění před zářením 3) Množení bakterií 4) Pokles tlaku s výškou 5) Růst počtu obyvatel 6) Úroky v bance atd. BRVKA Za čas T = poločas rozpadu se přemění polovina jader. Pro zbývající počet jader platí, λ je rozpadová konstanta:

 Úlohy na rozpady a spol.: 1) Určit množství po nějakém konkrétním čase. 2) Určit původní množství, pokud známe současné a T. 3) Určit dobu rozpadu – radiouhlíková metoda. 4) Určit poločas rozpadu. BRVKA 1) Určete hmotnost stroncia s poločasem rozpadu 9 min po uplynutí 5 min, 10 min, 30 min, pokud jeho původní množství bylo 1 gram. Stačí dosadit do vzorce, je nutné mít u t i T stejné jednotky.

2a) Určete původní množství radioaktivního jódu s poločasem rozpadu 8 dní dne 10.června, pokud víme, že 20.srpna je ho ve vzorku 12 gramů. BRVKA Zjistíme počet dní t ….. (budeme počítat počáteční i koncový den) 72 dní 2b) Určete množství radioaktivního thoria s rozpadovou konstantou λ = 0,77s -1 před 5s, pokud je ho nyní 0,02mg.

3) Na Sibiři byl nalezen zmrzlý mamut, když se ruským vědcům nepodařilo ho znovu oživit a jejich psům sníst, byl z něj odebrán kousek tkáně jako vzorek a bylo zjištěno, že obsahuje pouze 12% radioaktivního uhlíku 14 C v porovnání se současnými živočichy. Poločas rozpadu uhlíku je 5730 let. Otázka zní: Před kolika lety mamut přibližně zmrzl? BRVKA

3) Určete poločas rozpadu a rozpadovou konstantu pro radioaktivní izotop. Jeho množství ve vzorku bylo ,5 g a bylo množství jen 14,22 g. O který prvek se pravděpodobně jedná? BRVKA

A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost. BRVKA