Jehlan – povrch, objem, výpočty Autor: Mgr. Jolana Sobotková Vytvořeno: březen 2014 Název: VY_32_INOVACE_MA_01_Rovinná a prostorová geometrie_11 9. ročník

Vzdělávací oblast, tematický okruh, téma vzdělávacího materiálu: Matematika, Rovinná a prostorová geometrie, Jehlan Metodický list, anotace: Pomocí prezentace lze vysvětlit základní pojmy a vlastnosti jehlanu, i komolého jehlanu. Odvozeny jsou i vzorce pro objem a povrch a v závěru prezentace je příklad na výpočet objemu jehlanu v jednodušší i obtížnější verzi pro nadané žáky.

JEHLAN Jehlan je těleso s podstavou n-úhelníku. Stěny pláště tvoří rovnoramenné trojúhelníky PLÁŠŤ PODSTAVA

Jehlan, jehož výška je kolmá k podstavě – kolmý jehlan Jehlan, jehož výška je kolmá k podstavě – kolmý jehlan. Jehlan, který vznikne odříznutí části s vrcholem – komolý jehlan. - vázy, květináče, hrníčky…

Objem jehlanu Jehlan zaujímá 1/3 objemu kolmého hranolu se shodnými podstavami vyjdeme-li z obecného vzorce pro objem hranolu V = Sp . V , pak objem kužele se vypočítá podle vzorce V = 𝑆𝑝 . 𝑣 3

Povrch jehlanu Povrch se skládá z obsahu podstavy (n-úhelníku) a obsahů příslušného počtu trojúhelníků pláště. V tomto případě S = Sp + 5.S∆ S = 5. 𝑎 . 𝑣 𝑎 2 + 5. 𝑎 . 𝑣 𝑠 2 Čtvercová podstava: S = a2 + 4. 𝑎 . 𝑣 𝑎 2 Obdélníková podstava: S = a . b + 2 . 𝑎 . 𝑣 𝑎 2 + 2 . 𝑏 . 𝑣 𝑏 2 vs a va Vs – výška stěnového trojúhelníku Va – výška trojúhelníku v podstavě a – hrana podstavy

Varianta A Vypočítej přibližnou hmotnost obelisku z mrákotínské žuly na nádvoří Pražského hradu - spodní základna je čtvercová o hraně délky 181,5 cm, vysoký je 15,42 m. Horní hrana - také čtvercového tvaru – má hranu o délce 123,4 cm (jedná se tedy o komolý jehlan, přičemž výška celého jehlanu by byla 48,16 m. Hmotnost mrákotínské žuly je 2,640 t/m³. Řešení: Vypočítáme objem celého jehlanu a pak „vršku“, který chybí, a získáme tak objem obelisku. V1 – V2 a1 = 1,815m, v1 = 48,16m, a2 1,234m, v2 = 32,74m V1 = (a12 . v1) : 3 V2 = (a22 . v2) : 3 V1 = 52,88 m3, V2 = 16,62 m3 V1 – V2 = 36,26 m3 hmotnost: m = 36,26 . 2,64 = 95,7264 tuny

Další postup je již shodný s variantou A Varianta B - obtížnější Vypočítej přibližnou hmotnost obelisku z mrákotínské žuly na nádvoří Pražského hradu - spodní základna je čtvercová o hraně délky 181,5 cm, vysoký je 15,42 m. Horní hrana - také čtvercového tvaru – má hranu o délce 123,4 cm (jedná se tedy o komolý jehlan) Hmotnost mrákotínské žuly je 2,640 t/m³. Řešení: (Obtížnost spočívá v nutnosti si na základě podobnosti dopočítat celou výšku jehlanu) 1542+𝑥 90,75 = 𝑥 61,75 x 61,7cm 1542 + x = 1,471 . X 1542 = 0,471 . x x = 3274 cm …. To je výška té části, co tam není, tedy 15,42m celá výška je 32,74+ 15,42 = 48,16 m 90,75cm Další postup je již shodný s variantou A

Zdroje obrázků: Galerie Microsoft Office