Jak počítali ve starém Egyptě 2 Mgr. Jaromír Osčádal Bůh Thovt – stvořitel písma a bůh moudrosti

Znali Egypťané zlomky? Už v archaickém období používali zlomky. Mezi nejstarší zlomky patří ty, které vznikaly metodou půlení (jedna polovina a čtvrtina,…) V počátcích kromě kmenných zlomků: používali i doplňkové zlomky:

Tyto zlomky byly používané v období Staré říše. Do doby střední říše zůstaly pouze kmenné zlomky a symbol pro dvě třetiny.

Jak zapisovali zlomky? Kmenné zlomky psali v hieroglyfickém písmu znakem nad celým číslem jmenovatele. = V hieratickém písmu zlomek zapisovali tečkou nad číslem.

Speciálními zlomky byly části Horova oka, které se používaly k vyjádřením částí měřice (hekat asi 4,805 l). vedžat

Jak zapisovali ostatní zlomky? Ostatní zlomky zapisovali jako konečnou řadu různých kmenných zlomků.

Čísla větší než jedna zapisovali formou smíšených čísel.

Proč to tak dělali? Egypťané používali matematiku k praktickým výpočtům. Chyběla jim obecná představa o racionálních číslech.

Proč to tak dělali? André Weil označil rozhodnutí zapisovat zlomky formou kmenných zlomků jako „Wrong Turn“. Ale pro starověké Egypťany to muselo nějakou výhodu mít. Kmenné zlomky užívali i jiné civilizace.

Z praktického dělení úrody uměli Egypťané rozdělit celek na n dílů, ale představa rozdělit m celků, a každý celek na n dílů, byla pro ně nepraktická.

Pro praktické dělení bylo výhodnější takový zlomek zapsat pomocí větších celků. Vždyť i nám činí potíže představit si:

ale zápis nám dává jasnou představu, kolik z daného množství představuje požadovaný díl.

Úloha na dělení chleba Najdete i jiná rozdělení? Rozdělte 5 chlebů mezi 7 kameníků. ½+1/5+1/70 nebo ½+1/6+1/21 nebo ½ +1/7+1/14 Najdete i jiná rozdělení?

Jaký největší kmenný zlomek se vejde do daného racionálního čísla?

Vymyslete postup, jak můžeme najít zápis ve formě egyptských zlomků.

Pokuste se zapsat racionální číslo ve tvaru egyptských zlomků. 6/7, 9/10, 8/9 jediný nejkratší zápis; 7/9=1/2+1/6+1/9

Lze každý zlomek 2/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? Co když je n sudé

Co když je n liché

Co když je n liché

Příklady: Druhá varianta 2/9 =1/6+1/18 Vynechání kroku 3/n

Lze zlomek 3/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? Jak můžeme zapsat n?

V takovém případě můžeme zlomek zkrátit.

V takovém případě platí:

V takovém případě platí:

V takovém případě platí: Zlomek 2/n lze rozdělit na kmenné zlomky, protože zlomek 1/(k+1) je největší kmenný zlomek , který se vejde do hodnoty 3/n, musí další zlomky být menší (jiné).

Příklady: Druhá varianta 3/7 = 1/3 + 1/12 + 1/84 = 1/3 +1/14+1/42 = 1/3+1/15+1/35 = 1/4+1/6+1/84 = 1/4+1/7+1/28 3/10 = 1/5 +1/10

Lze každý zlomek m/n zapsat ve tvaru egyptského zlomku? 1/ Pro m = 2 nebo m = 3 jsme rozklad na egyptské zlomky dokázali na předchozích stránkách. 2/ Předpokládejme, že existuje m – 1, pro které všechny zlomky h/n, kde h  m - 1 (h, n, mZ), lze vyjádřit ve tvaru egyptských zlomků. 3/ Bude to samé platit pro m ?

Pro jednoduchost uvažujme zlomky menší než jedna.

Pro z  0 můžeme dokázat, že Důkaz poslední nerovnosti nechte na studentech (0<(k-1)m+2z)

Pokud z = 0, lze zlomek krátit na kmenný.

Pokud z  0 je čitatel druhého zlomku rozkladu menší než m. Podle předpokladu lze takový zlomek vyjádřit ve tvaru egyptských zlomků, které jsou menší (jiné) než Všechny zlomky n/m menší než jedna, lze zapsat ve tvaru egyptských zlomků (konečného počtu kmenných zlomků).

Existuje jediný zápis zlomku ve tvaru egyptského zlomku? Tento postup poprvé publikoval v roce 1202 Leonardo z Pisy známý jako Fibonacci. My jsme si ukázali jen jeden postup, ale podobných může existovat více s jiným výsledkem. Např. nemusíme vždy použít největší kmenný zlomek.

Zapište zlomek ve tvaru egyptských zlomků.

Zkuste najít různé zápisy zlomků: To jsou jen ty nejkratší.

Představme si zlomek, který lze zapsat pouze v jedné podobě. Seřadíme kmenné zlomky v zápisu od největšího po nejmenší. Jak můžeme použít následující rovnosti pro získání dalšího zápisu? To vede ke sporu s předpokladem jediného zápisu.

Rychle zapište další zápis daného zlomku Využijte rovností: Pozor zápisů je nekonečně mnoho

Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? Ukázali jsme si, že jeden zlomek lze zapsat v několika tvarech. Můžeme jeden z nich považovat za jakýsi základní tvar? Může být určující počet kmenných zlomků?

Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? Za základní tvar můžeme považovat výsledek našeho postupu, který se skládá z největších kmenných zlomků. Tento postup patří do skupiny takzvaných „hladových algoritmů“, protože do zápisu vložíme vždy největší kmenný zlomek, který se vejde do zbylé hodnoty.

Jaký bude základní zápis egyptského zlomku? Bohužel jen velmi těžko určíme, zda daný zápis pomocí egyptských zlomků je tento základní. Jednou z možností je zlomky sečíst a přepočítat podle algoritmu. Je ale výhodný pro porovnávání zlomků.

Zlomek je zapsán v základním tvaru, pokud součet posledních zlomků s největším zlomkem 1/n je menší než 1/(n-1).

Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním tvaru: NE

Zjistěte, zda je daný zápis zlomků v základním tvaru: ANO

Porovnávání zlomků

Které číslo je větší? nebo . Zápis a nám dává jasnou představu, který z daných zlomků je větší. Tento zápis má pro porovnání zlomků jasnou výhodu.

Porovnejte zlomky pomocí tvaru egyptských zlomků:

Příklady: Porovnejte zlomky nezapsané v základním tvaru:

Porovnejte zlomky:

Jak mohli sčítat zlomky? Pokud kmenných zlomků nebylo mnoho a byly různé, staří písaři je jen připojili k sobě. Pokud některé kmenné zlomky z obou sčítanců byly stejné, rozložili je pomocí tabulky 2/n, nebo použili univerzálnější postup.

Jak mohli sčítat zlomky? Kmenné zlomky při sčítání převedeme na společného jmenovatele. Výsledek opět vyjádříme ve formě egyptského zlomku. Egypťané mnohdy nepoužili společného jmenovatele, každý kmenný zlomek vyjadřovali jako násobek vybraného zlomku. Tyto násobky nemusely být celočíselné.

Sečtěte zlomky a výsledky ověřte klasickým sčítáním zlomků.

Sečtěte zlomky a výsledky ověřte klasickým sčítáním zlomků.

Jak odčítali zlomky? Odečetli stejné kmenné zlomky a zbytek převedli na společného jmenovatele. Mnohdy nepoužili společného jmenovatele, každý kmenný zlomek vyjadřovali jako násobek vybraného zlomku. Tyto násobky nemusely být celočíselné.

Odečtěte zlomky:

Odečtěte zlomky:

Úlohy z Rhindova papyru: R21: doplňte do 1: R22: doplňte do 1: R21 1/6 a 1/10

Násobení zlomku celým číslem Probíhalo jako běžné násobení. Vynásobte číslem 3. ¾ * 3 = 9/4 = 2,25

Vynásobte číslem 5. 11/24 * 5 = 55/24

Vynásobte číslem 6. 17/70 * 6 = 51/35

Jak násobili zlomky? Nejvíce příkladů součinu zlomků nalezneme na Rhintově papyru. Pokud násobíme dva kmenné zlomky, dostaneme opět kmenný zlomek.

Jak násobili zlomky? Vynásobíme zlomky z obou činitelů, tak jak jsme zvyklí podle distributivního zákona. Nakonec sečteme všechny výsledky součinů podle předchozích postupů převodem na společného jmenovatele.

Vynásobte zlomky: ¾ * 2/5 = 3/10 4/5 * 5/6 = 2/3

Úlohy z Rhindova papyru: R7: Vynásobte a : 7/4 * 2/7 = ½ 7/4*4/7=1

Jak písaři dělili zlomky? V dochovaných úlohách mnoho dělení zlomků nenajdeme. První skupinou na dělení smíšeným číslem jsou úlohy o kvalitě chleba a piva. Výsledek se hledal ve formě násobků dělitele, ale v papyrech mnohdy detailní postup chybí.

Rhindův papyrus úloha R69 měřice mouky převeďte na 80 chlebů. Udejte jejich kvalitu. Počítejte s , až najdete 80.

Udejte jejich kvalitu. Počítejte s , až najdeš 80. „Vypočítejte, kolik chlebů uděláte z jedné měřice.“ Jedna třetina z dělitele ->2/3 dělitele jsou skoro 3; dělitel je 7/2 to znamená, že 1/7 dělitele je ½. Nám ještě chybí 1/6

Výsledek je : Z jedné měřice mouky vyrobíme chlebů.

Egypťané ke každé slovní úloze psali zkoušku

Příklad na dělení ve slovní úloze: R34: Množství, jehož k němu přidané dají 10.

R34: Množství, jehož k němu přidané dají 10. \1 7 2 \ 4 7 28 Čtyřnásobek a dvojnásobek dají víc jak deset, proto vybereme čtyřnásobek a jednonásobek.

Do deseti chybí . Vybrané násobky představují . Jednonásobek představuje . Jedna čtvrtina je tedy dělitele. \ 1 \ 1 4 Výsledek je:

Příklad na dělení ve slovní úloze: R32: Množství, jehož k němu přidané dají 2.

R32: Množství, jehož k němu přidané dají 2. U jednonásobku nám chybí 5/12 1/6 je víc jak 3 *1/12 po přepočtu na 1/72 (jednonásobek 114, šestina 19, chybí 11) proto získáváme onu 1/114, která činí 1/72, zní můžeme odvodit další potřebné díly (pomocí společných dělitelů 72 a 114=>11=6+2+3), pro 1/19 (1/12=6*1/72) pro 1/57 (1/36=2*1/72) pro 1/38 (1/24=3*1/72) jiný výsledek je 1+1/6+1/19+1/38+1/57. Výsledek:

Napište zkoušku k této úloze

Dělení dvou zlomků je velmi nepohodlné Vydělte číslem .

Egypťané znali mnohem víc Egypťané znali mnohem víc. Uměli proměřit plochy kruhu, trojúhelníku, lichoběžníku, vypočítat objem válce, hranolu i jehlanu (pyramidy), komolého jehlanu (nedokončené pyramidy), určit sklon pyramidy, využívali podobnosti objektů, počítali členy geometrické a aritmetické posloupnosti, rozdělovali příděly na nestejné díly. Znali mnohem víc!! MATEMATIKU POTŘEBOVALI KAŽDÝ DEN ŽIVOTA VE STAROVĚKÉM EGYPTĚ.

Binární algoritmus

Představte si zápis racionálního čísla v dvojkové soustavě Tento zápis představuje součet kmenných zlomků. Zápis může být i periodický, i periodu můžeme zapsat ve tvaru kmenných zlomků.

Podobným postupem lze vyjádřit každý periodický zápis pomocí kmenných zlomků typu:

Pomocí zápisu v dvojkové soustavě zapište zlomek ve formě kmenných zlomků

Podobný postup můžeme uplatnit i pro zápis v trojkové soustavě, kde využijeme rovnosti: Zápis rozdělíme na řády zapsané jedničkou a řády zapsané dvojkou.

Konec

Použité zdroje: BEČVÁŘ, Jindřich, Martina BEČVÁŘOVÁ a Hana VYMAZALOVÁ. Matematika ve starověku: Egypt a Mezopotámie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, 371 s. Dějiny matematiky (Prometheus), sv. 23. ISBN 80-719-6255-4. VYMAZALOVÁ, Hana. Staroegyptská matematika: hieratické matematické texty. Vyd. 1. Praha: Český egyptologický ústav, 2006, 155 s. Dějiny matematiky (Český egyptologický ústav), sv. 31. ISBN 80-730-8156-3. VYMAZALOVÁ, Hana. Počty v zemi faraonů: matematika stavitelů pyramid. Praha: Český egyptologický ústav Filozofické fakulty Univerzity Karlovy v Praze, 2008, 32 s. ISBN 978-80-7363-215-1. VYMAZALOVÁ, Hana a Filip COPPENS. Moudrost svitků boha Thovta: vědecké poznání za vlády faraonů. Vyd. 1. Praha: Univerzita Karlova v Praze, Filozofická fakulta, 2011, 352 s. ISBN 978-807-3083-588. JOHNSON, Paul. Civilizace starého Egypta. Vyd. 1. Praha: Academia, 2002, 262 s. ISBN 80-200-0949-3.

Obrázky Snímek 1 Snímek 3 Snímek 4 Snímek 5 Snímek 13 Snímek 82 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Thoth.svghttp://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Thoth.svg http://nd01.jxs.cz/197/156/8237c60d3f_23536666_o2.jpg Snímek 3 Zdroj 1) strana 43 Snímek 4 Snímek 5 http://www.aloha.net/~hawmtn/h_eye.gif Snímek 13 Zdroj 2) strana 52 Snímek 82