EU-8-64 – DIFERENCIÁLNÍ POČET Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu: Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-64 – DIFERENCIÁLNÍ POČET (shrnutí a opakování na příkladech) Anotace Na 105 úlohách rozdělených do 21 cvičení po 5 příkladech si mohou žáci zopakovat a procvičit základy diferenciálního počtu počínaje limitami až po průběh funkce. V závěru prezentace je uvedeno 15 slovních úloh na hledání globálního extrému. V každém cvičení je pětice úloh od nejjednodušších až po úlohy mírně náročné. Úlohy lze použít pro individuální i skupinovou práci žáků, z úloh lze sestavovat testy či písemné práce. Autor PaedDr. Milan Rieger Jazyk Čeština Očekávaný výstup Žák dovede aplikovat získané poznatky diferenciálního počtu alespoň na nejjednodušších úlohách jednotlivých cvičení. Klíčová slova Limita, spojitost, derivace funkce, průběh funkce, slovní úloha. Druh učebního materiálu Pracovní list / Obrázky / Testy Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupina Žák Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání Typická věková skupina 17 – 19 let Datum vytvoření 4. 1. 2014

1. 5 2. 1 3. 4. 2 5. Vypočítejte VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 1 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 203 – cvičení 194.

1. 48 2. 3. 4. 5. Vypočítejte VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 2 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 204 – cvičení 195. 3

1. 2. 3. 4. 8 5. 2 Vypočítejte VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 3 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 204 – cvičení 196. 4

1. 2. 3. 4. 5. Vypočítejte +  -  VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 4 a) b) c) neexistuje 2. 3. 4. 5. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 205 – cvičení 197. 5

1. 2. 3. 4. 5. 0, 0 +, 0 2 GRAF FUNKCE A VÝPOČET LIMIT – CVIČENÍ 5 Načrtněte graf funkce a vypočítejte 2. 3. 0, 0 4. +, 0 5. Vypočítejte 2 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 206 – cvičení 198. 6

1. 2. 3. 4. 5. - 4 4 3 cos x0 DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 6 Je dána funkce f: y = - 4 x + 1 a číslo x0. Vypočítejte - 4 2. f: y = x2 + 1. 4 3. 4. f: y = x3 + 1. 3 5. f: y = sin x cos x0 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 206 – cvičení 199. 7

TEČNA K FUNKCI V BODĚ DOTYKU – CVIČENÍ 7 1. Napište rovnici tečny grafu funkce Proveďte příslušný náčrtek. f: y = x2 - 1 v bodě dotyku T [ 1; y0 ]. y = 2 x - 2 2. f: y = x3 + 1 v bodě dotyku T [ 0; y0 ]. y = 1 3. v bodě dotyku T [ -1; y0 ]. 4. f: y = - x2 + 4 v bodě dotyku T [ - 2; y0 ]. y = 4 x + 8 5. f: y = ex y = x + 1 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 207 – cvičení 200. 8

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE – CVIČENÍ 8 1. Určete asymptoty grafu funkce y = 0, x = - 2, x = 2 2. y = 2, x = 5 3. y = x, x = 1 4. y = 0, x = 3 5. y = x + 2, x = 2 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 208 – cvičení 201. 9

1. 2. 3. 4. 5. POUŽITÍ DEFINICE DERIVACE FUNKCE – CVIČENÍ 9 výsledky Pomocí definice derivace vypočítejte derivaci dané funkce f v libovolném bodě x0  D(f): f: y = 1 f: y = a x + b f / (x0) = 0 f / (x0) = a 2. f: y = a x2 + b x + c f / (x0) = 2 a x0 + b 3. 4. 5. f: y = cos x f / (x0) = - sin x0 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 209 – cvičení 202. 10

1. 2. 3. 4. 5. POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 10 výsledky Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x2 – 4 x + 5; f / (1) = 2 a) b) f: y = 5 x3 – 3 x5 b) f / (x) = 15 x2 – 15 x4; f / (1) = 0 2. Vypočítejte f / (x) a f / (2) pro funkci: a) f / (x) = a; f / (2) = a a) f: y = a x + b b) f: y = a x2 + b x + c b) ) f / (x) = 2 a x + b; f / (2) = 4a + b 3. Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: b) 4. 5. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 209 – cvičení 203. 11

1. 2. 3. 4. 5. POUŽITÍ VĚT O DERIVOVÁNÍ FUNKCÍ – CVIČENÍ 11 výsledky Vypočítejte f / (x) a f / (/4) pro funkci: a) a) f: y = 4 sinx + 3 cosx b) f: y = tgx - cotgx b) 2. Vypočítejte f / (x) a f / () pro funkci: a) f / (x) = sinx + x cosx; f / () = -  a) f: y = x sinx 3. Vypočítejte f / (x) a f / (1) pro funkci: a) f / (x) = x (2 lnx + 1); f / (1) = 1 a) f: y = x2 lnx 4. Vypočítejte f / (x) a f / (0) pro funkci: a) f / (x) = ex (1 + x); f / (0) = 1 a) f: y = x ex 5. Vypočítejte f / (x) pro funkci výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 210 – cvičení 204. 12

1. 2. 3. 4. 5. DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 12 výsledky úloh Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = 8x ( x2 + 1)3 a) f: y = ( x2 + 1)4 b) f: y = (ax2 + bx + c)2 b) f / (x) = 2 (ax2 + bx + c) (2ax + b) 2. a) b) 3. a) f / (x) = 2 sinx cosx = sin2x a) f: y = sin2 x b) f: y = sin x2 b) f / (x) = 2x cos x2 4. b) f: y = tg (x2 + 1) 5. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 211 – cvičení 205. 13

1. 2. 3. 4. 5. DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE – CVIČENÍ 13 výsledky úloh Vypočítejte f / (x) pro funkci: a) f / (x) = cotgx a) f: y = ln(sinx) b) f: y = ln(cosx) b) f / (x) = - tgx 2. a) b) 3. 4. a) f / (x) = ex ( sinx + cosx ) a) f: y = ex sinx b) f: y = ex cosx b) f / (x) = ex ( cosx - sinx ) 5. a) f / (x) = 4x sinx2 cosx2 a) f: y = sin2 x2 b) f: y = ln ln lnx výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 212 – cvičení 206. 14

Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T[ x0; y0 ]: TEČNA A NORMÁLA V BODĚ FUNKCE – CVIČENÍ 14 Napište rovnici tečny a normály grafu funkce f v bodě T[ x0; y0 ]: 1. f: y = x2 + x + 1, x0 = 1 2. 3. f: y = sin x, x0 = 0 t: y = x, n: y = – x 4. f: y = ex, x0 = 0 t: y = x + 1, n: y = – x + 1 5. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 213 – cvičení 207. 15

Určete intervaly monotónnosti funkce: MONOTÓNNOST FUNKCE – CVIČENÍ 15 Určete intervaly monotónnosti funkce: klesající rostoucí 1. f: y = x2 – x + 1 2. f: y = 2 x2 – x4 3. 4. 5. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 213 – cvičení 208. 16

1. 2. 3. 4. 5. EXTRÉMY FUNKCE – CVIČENÍ 16 výsledky úloh Určete lokální extrémy funkce v bodě 0 lokální maximum, f(0) = 0 v bodě 4 lokální minimum, f(4) = - 32 2. v bodě 3 lokální maximum, f(3) = 3 3. v bodech -1 a 1 lokální maxima, f(-1) = f(1) = 0,5 v bodě 0 lokální minimum, f(0) = 0 4. Určete globální extrémy funkce v daném intervalu: globální minima v bodech -2 a 2, f(-2) = f(2) = - 24 globální maxima v bodech -1 a 1, f(-1) = f(1) = 3 5. globální minimum v bodě 0, f(0) = 0 globální maximum v bodě 4, f(4) = 8 výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 214 – cvičení 209. 17

KONVEXNOST, KONKÁVNOST A INFLEXNÍ BODY FUNKCE – CVIČENÍ 17 konvexnost v intervalu (intervalech) konkávnost v intervalu (intervalech) inflexní body 1. Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce f: y = 3 x4 – 4 x3. 2. Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce 3. Najděte taková čísla a a b, aby bod x = 1 byl pro funkci f: y = x3 + a x2 – 3 x + b inflexním bodem. a = – 3, b = 6 4. Je-li počátek inflexním bodem grafu funkce f: y = a x3 + b x2 + c x + d, potom je její graf středově souměrný podle počátku. Dokažte. Počátek [ 0; 0 ] leží na grafu funkce, musí tedy platit d = 0. Současně je počátek inflexním bodem, tedy 2. derivace funkce f v bodě 0 se musí rovnat nule. Potom dokážeme lichost funkce. 5. Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce f: y = x2 e –x. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 215 – cvičení 210. 18

Vyšetřete průběh funkce f. VYŠETŘETE PRŮBĚH FUNKCE – CVIČENÍ 18 Vyšetřete průběh funkce f. 1. graf funkce 2. 3. 4. 5. nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 216 – cvičení 211. 19

1. 2. 6, 6 3. 4. 5. SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 19 výsledky úloh Rozložte číslo a na dva sčítance tak, aby jejich součin byl největší. 2. Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jestliže součet jejich třetích mocnin je nejmenší možný. 6, 6 3. Určete vzdálenost bodu Q [ 1; 2 ] od paraboly 4. Drát dlouhý se rozdělí na dva kusy. Z jednoho kusu se zhotoví čtverec a z druhého rovnostranný trojúhelník. Jaké by měly být délky kusů, aby součet obsahů obou obrazců byl minimální? Délka strany čtverce: Délka strany trojúhelníku: 3 cm. 5. Na souřadnicové ose x najděte bod, jehož součet vzdáleností od bodů A [ 0; 4 ] a B [ 4; 2 ] je minimální. výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 216 – cvičení 212. 20

1. 2. 3. 4. 5. SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 20 výsledky úloh Pravoúhelník má obvod 100 cm. Určete délky jeho stran a, b tak, aby jeho obsah byl maximální. a = 25 cm b = 25 cm 2. Do trojúhelníku se základnou z a výškou v je vepsán pravoúhelník maximálního obsahu. Určete jeho obsah S. 3. Z lepenky tvaru čtverce o straně délky a se v rozích vyříznou stejně velké čtverce a ze zbylé části se slepí krabička. Jak velká musí být strana vyříznutého čtverce, aby byl objem krabičky největší? 4. Určete maximální obsah S lichoběžníku, jehož tři strany mají danou délku b. 5. Dvě chodby široké 2,4 m a 1,6 m se protínají pod pravým úhlem. Jaký nejdelší žebřík lze ve vodorovné poloze ještě přenést z jedné chodby do druhé? asi 5, 6 cm výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 217 – cvičení 213. 21

1. 2. 3. 4. 5. SLOVNÍ ÚLOHY NA EXTRÉMY – CVIČENÍ 21 výsledky úloh Najděte výšku v a poloměr r válce, který má při daném povrchu S maximální objem. 2. Kouli o poloměru r je vepsán kužel maximálního objemu. Určete poloměr  podstavy a výšku v kužele. 3. Krabice má tvar kvádru a její délka je dvojnásobkem její šířky. a) Jaký má nejmenší možný povrch (včetně dna a víka), je-li její objem 72 cm3? b) Jaký má největší možný objem, je-li její povrch 108 cm2? 108 cm2 72 cm3 4. Do rotačního kužele o podstavě poloměru r a výšce v vepište rotační válec maximálního objemu. Určete poloměr  podstavy a výšku h hledaného válce. 5. Navrhněte rozměry otevřeného bazénu se čtvercovým dnem a objemem 32 m3 tak, aby na vyzdění jeho stěn včetně dna bylo potřeba nejmenší množství materiálu. 4 m x 4 m x 2 m výsledky úloh nbeone Matematická cvičení pro střední školy – RNDr. Dag Hrubý, vydalo nakladatelství Prometheus, 1. vydání, 2008. ISBN 978-80-7196-374-5. Strana 218 – cvičení 214. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. 22

CVIČENÍ 18 - úloha 1 zpět na cvičení 18 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

CVIČENÍ 18 - úloha 2 zpět na cvičení 18 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

CVIČENÍ 18 - úloha 3 zpět na cvičení 18 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

CVIČENÍ 18 - úloha 4 zpět na cvičení 18 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

CVIČENÍ 18 - úloha 5 zpět na cvičení 18 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.