Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

INTERVALY

Interval jako množina Zobrazení intervalu na číselné ose Symbolický zápis intervalu Název intervalu omezené intervaly a, b (a, b  R, a < b) I 1 = {x  R; a  x  b}x   a, b  I. uzavřený I 2 = {x  R; a  x < b}x   a, b ) I. zleva uzavřený I 3 = {x  R; a < x  b}x  ( a, b  I. zprava uzavřený I 4 = {x  R; a < x < b}x  ( a, b ) I. otevřený neomezené intervaly s krajním bodem a (a  R) I 5 = {x  R; x  a}x   a, + ∞ ) I. zleva uzavřený I 6 = {x  R; x > a}x  ( a, + ∞ ) I. otevřený I 7 = {x  R; x  a}x  ( – ∞, a  I. zprava uzavřený I 8 = {x  R; x < a}x  ( – ∞, a ) I. otevřený oboustranně neomezený interval (každá množina je sama sobě podmnožinou) I 9 = R x  (– ∞, + ∞) I. otevřený

Množinové operace s intervaly

Sjednocení množin A, B, ozn. A  B, je množina všech prvků, které jsou obsaženy alespoň v jedné z množin A, B. Množina prvků z množiny A nebo B.

Sjednocení intervalů A, B, ozn. A  B: Všechna reálná čísla, která patří do intervalu A nebo intervalu B.

Příklad: Určete sjednocení intervalů A, B. A = {x  R; – 1  x < 3} B = {x  R; x  1} A  B   – 1; ∞) „Všude, kde je šrafování.“

Průnik množin A, B, ozn. A  B, je množina všech prvků, které jsou společné množinám A, B. Množina prvků, které jsou v množinách A i B a současně.

Průnik intervalů A, B, ozn. A  B: Všechna reálná čísla, která leží v intervalech A i B současně.

Příklad: Určete průnik intervalů A, B. A = {x  R; – 1  x < 3} B = {x  R; x  1} A  B   1; 3 ) „Všude, kde se šrafování kříží.“

Řešené úlohy

Příklad: Dané intervaly znázorněte graficky a zapište symbolicky.

1) {x  R; 1  x  5} 2) {x  R; x > 7} 3) {x  R; – 2 < x  3} x   1; 5 x   1; 5  x  ( 7; ∞ )x  ( 7; ∞ ) x  ( – 2 ; 3 

4) {x  R; – 4 < x < 0} 5) {x  R; x  1} 6) {x  R; – 8  x < 6} x  ( – 4, 0 ) x  ( – ∞; 1  x   – 8; 6 )

7) {x  R; x  4} 8) {x  R; x  – 3} 9) {x  R; – 7  x  – 2} x  (– ∞; 4)  (4; ∞) x  R – {4} x   – 3; ∞ ) x   – 7; – 2 

10) {x  R; x  0} 11) {x  R; x < – 1} 12) {x  R; – 1 < x < 6} x  ( – ∞; – 1 ) x  ( – 1; 6 ) x  (– ∞; 0)  (0; ∞) x  R – {0}

13) {x  R; x  ± 2} 14) {x  R; x  0} 15) {x  R; 1  x < 2} x  R – {± 2} x   0; ∞ ) = R 0 + x   1; 2 )

Příklad: Dané intervaly znázorněte graficky a zapište jako množinu.

1) x   3; 5 ) 2) x  (– 5 ; ∞ ) 3) x  ( – 2 ; – 1 ) {x  R; 3  x < 5} { x  R; x > – 5 } {x  R; – 2 < x < – 1}

4) x  R – {– 2; 3} 5) x  ( – ∞; 9 ) 6) x  ( 1,5; 4  {x  R; x  – 2; 3} {x  R; x < 9} {x  R; 1,5 < x  4}

7) x  R – {5} 8) x   – 9; ∞ ) 9) x   – 4; 3,1  {x  R; x  5} {x  R; x  – 9} {x  R; – 4  x  3,1}

Příklad: Určete sjednocení a průnik intervalů.

1)A = {x  R; – 7  x < 8} B = {x  R; 3 < x  10} 2)A = {x  R; – 1  x  1} B = {x  R; 0 < x < 4} A  B =  – 7; 10  A  B = ( 3; 8) A  B =  – 1; 4) A  B = ( 0; 1 

3)A = {x  R; – 2  x < 3} B = {x  R; x  9} 4)A = {x  R; 1  x  5} B = {x  R; x > 7} A  B = (– ∞; 9  A  B =  – 2; 3) A  B =  1; 5   (7; ∞) A  B = 

5)A = {x  R; x  – 4} B = {x  R; – 4  x  3} 6)A = {x  R; – 3  x < 1} B = {x  R; x  1} A  B = ( – ∞; 3  A  B = { – 4 } A  B =  – 3; ∞) AB = AB = 

7)A = {x  R; x < 2} B = {x  R; x > 2} 8)A = {x  R; – 12  x < 11} B = {x  R; – 1  x < 2} A  B = R – { 2 } A  B =  A  B =  – 12; 11) A  B =  – 1; 2)

9)A = {x  R; x > – 1} B = {x  R; x  – 1} 10)A = {x  R; 0,5 < x  4} B = {x  R; – 4 < x  4} A  B =  – 1; ∞) A  B = ( – 1; ∞) A  B = ( – 4; 4  A  B = ( 0,5; 4 

11)A = {x  R; x  – 5} B = {x  R; x < – 5} 12)A = {x  R; 0 < x  3} B = {x  R; x  – 3} AB = RAB = R A  B =  A  B =  – 3; ∞) A  B = ( 0; 3 

13)A = {x  R; x > – 3} B = {x  R; x  – 1} 14)A = {x  R; – 2 < x  2} B = {x  R; – 2 < x  7} A  B = ( – 3; ∞) A  B =  – 1; ∞) A  B = ( – 2; 7  A  B = ( – 2; 2 

15)A = {x  R; – 5 < x < 3} B = {x  R; – 2  x < 6} 16)A = {x  R; – 2 < x  3} B = {x  R; 1  x < 3} A  B = ( – 5; 6) A  B =  – 2; 3) A  B = ( – 2; 3  A  B =  1; 3)