Gaussova eliminační metoda Tomu dávání nul pod diagonálu se říká vymyslel to Gauss ale proč eliminační? Eliminovat neznámé znamená vypočítat z jedné rovnice jednu neznámou a dosadit ji do všech spodních.. tam pak není – je z nich eliminována… Přitom vznikají ty HT matice… Výpočty přitom mají jednu zvláštní vlastnost, kterou právě Ukažme si to na jednoduchém obecném příkladě soustavy dvou rovnic o dvou neznámých…

Řešme soustavu příslušná matice je ax + by = c a b c d e f koeficient u x které eliminujeme, říká se mu vedoucí prvek dx + ey = f Opišme první rovnici, tam bylo… vypočtěme z ní x, teď tam je.. podobně vedle.. dosaďme ho do druhé… a upravme to…. a b c ax + by = c ea-bd fa-cd a a tak to jde dělat dál, je to totéž, jako kombinování řádků V této rovnici už x není – je z ní eliminováno Ale jak pozoruhodně vznikly ta další koeficienty!!

h(a)=3 Př.:Vypočtěme hodnost matice 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 -1 2 -1 -5 -4 -3 0 -5 -4 -3 1 -3 0 -2 -5 -3 -3 -5 Schematicky probíhá násobení křížem takto: R + - S S. -R.L L nová pozice stará pozice

Poslední poznámka k tomu, co vymyslel Gauss: Napíšeme-li si vedle každého řádku matice součet jeho prvků a pracujeme-li s ním jako se kterýmkoliv prvkem matice, zachovává si tento sloupec svou vlastnost být součtem řádku i po úpravě … slouží to ke kontrole výpočtu… Př.: Vypočtěme hodnost matice součet řádku součet řádku součet řádku 1 2 3 6 1 2 3 6 1 2 3 6 0 -5 -4 -9 2 -1 2 3 0 -5 -4 -9 0 0 -2 -2 1 -1 1 0 -3 -2 1 -5

Gauss-Jordanova metoda Jordan přimyslel k předchozí technice to, že vypočítané neznámé mohu dosazovat i do horních rovnic, nejen dolů.. tam tedy také budou místo nich nuly a nakonec dostaneme schema, které má nenuly pouze na hlavní diagonále…. Všechny techniky počítání prvků matic jsou stejné jako předtím .. můžeme kombinovat řádky nebo násobit křížem, i s kontrolním sloupcem součtů…. V tomto případě se dávají nuly nejen pod, ale i nad diagonálu. Další příklad to ilustruje….

Př.: Řešme soustavu x- 2y + z=1 2x – y- z=0 2x - z=-1 1 -2 1 1 2 -1 -1 0 2 0 -1 -1 1 -2 1 1 3 -3 -1 3 -3 -2 0 3 -3 -2 4 -3 -3 3 -1 -6 9 9 -9 0 0 3 -1

VESELÉ VÁNOCE

Determinanty D.: Determinant je číslo, přiřazené čtvercové matici. Označení: zkráceně Jak se to číslo matici přiřadí, závisí na n … řád determinantu 1. je-li n=1 (determinant prvního řádu), je a = a Př.: det(8)=8, det(-3)=-3.

2. je-li n=2 (determinant druhého řádu), je + - a b =ad - bc c d Př.: 2 3 =2.4-3.(-1)= 11 -1 4 -2 -1 =(-2).3-(-1).(-1)= -7 -1 3 0 -3 =0.(-4)-(-3).1= 3 1 -4

3. je-li n=3 (determinant třetího řádu), je + - Sarussovo pravidlo a b c d e f g h j = aej + dhc + gbf -( ceg + fha + jbd) a b c d e f Př.: 2 -3 -1 1 -1 -2 0 2 = 1.1.2+(-1).0.(-3)+(-2).2.(-1)- -(-3.1.(-2)+(-1).0.1+2.2.(-1)= 1 2 -3 =2+0+4-(6+0-4)= 4 -1 1 -1

Př.: 0 -1 2 -1 1 3 0 -2 = 1.(-1).(-2)+2.0.(-1)+3.0.1- -(-1.(-1).3+1.0.1+(-2).0.2= 1 0 -1 =2+0+0-(3+0+0)= -1 2 -1 1 -1 0 -1 0 2 0 -1 2 = 0+0+0-( 0-2+2)= 1 -1 0 -1 0 2

4. je-li n>3 (determinant tvrtého a vyšších řádů, ale platí to obecně pro všechny řády)… rozvoj podle řádku nebo sloupce nejde použít Sarussovo pravidlo!! Označme determinant matice A, ze které jsme vyjmuli i-tý řádek a j-tý sloupec…. tzv. minor tzv. algebraický doplněk prvku znaménko místa, kde ten prvek stojí Př.: -1 2 -1 1 =1 =1 1 2 3 A= 2 -1 2 doplněk 1 -1 1 1 2 1 -1 =3 =-3 doplněk

Potom: rozvoj podle i-tého řádku nebo rozvoj podle k-tého sloupce Na sloupci nebo řádku, který vybereme, nezávisí… Př.: pro n=4 vyberme třeba třetí řádek…n=4,i=3,k=1,…,4 2 -3 0 -1 1 -1 2 -2 0 2 -1 0 2 1 -1 1 -3 0 -1 -1 2 + 0 1 -1 2 -3 0 1 -1 2 2 1 -1 = -2 +0 1 2 0 -1 1 2 0 2 -1 1 2 -3 -1 1 -1 0 2 1 +2 +(-1)

Vlastnosti determinantu protože mohu dělat rozvoj jak podle řádku tak podle sloupce a vyjde totéž… 1. Hodnota determinantu se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku násobek jiného řádku (totéž pro sloupce…) 8 8 8 Tedy: 1 3 -2 2 -1 5 -2 2 1 4 -2 0 = + = +

Determinant násobíme číslem tak, že tím číslem násobíme jeho libovolný řádek nebo sloupec. Tedy: 3 4 -6 0 1 12 -2 0 1 4 -2 0 3 12 -2 0 1 4 -6 0 = 24 = = = 3. = 8 Lze to použít i obráceně … ke zjednodušení výpočtu, je to vlastně vytýkání čísel z determinantu: 2 2 2 1 1 1 2 1 2 6 8 12 2 6 2 3 = 4.3.2.(-1)= -24 = 4 = 4.3 = 4.3.2 -24

4. Přehodíme-li dva řádky nebo sloupce, změní se znaménko determinantu. Tedy: 7 -2 -3 1 -2 -7 1 -2 -2 -3 = 7 -2 1 -3 -2

5. Determinant čtvercové HT matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále. Př.: 1 -1 0 -1 4 0 0 3 Udělejme rozvoj podle prvního sloupce: A= Teď zase totéž… -1 4 0 3 +0 + 0 = 2. (-1). 3 + 0 = det A= 2. = 2.(-1).3 = -6

Vytváření HT matic umíme – je to schůdná cesta k počítání determinantů vyšších řádů. Musí se dát jen pozor na přehazování řádků a násobení číslem… přehodíme druhý a třetí sloupec… Př.: Z prvního řádku vytkneme 2 … 1 2 1 0 1 2 1 0 2 4 2 0 -2 -1 -2 1 -1 3 1 -1 3 0 -1 0 -2 -1 -2 1 0 3 0 1 -1 3 1 -1 0 5 2 -1 3 0 -1 0 0 -6 -4 0 a druhý a třetí řádek.. 1 1 2 2 3 5 -6 1 -1 -4 1 1 ´2 0 0 2 5 -1 0 0 3 1 0 0 -6 -4

přehodíme třetí a čtvrtý řádek… 1 1 2 0 1 1 2 0 0 2 5 -1 0 2 5 -1 0 0 3 1 0 0 3 1 0 0 6 -4 0 0 0 -6 1. 2. 3. (-6) = -72

Když během postupu dostaneme nulový řádek, tedy řádky jsou závislé,je determinant roven nule, protože v rozvoji podle sloupce je jeden činitel nula… Př.: 1 -1 0 0 4 0 0 3 Udělejme rozvoj podle prvního sloupce: A= Teď zase totéž… 0 4 0 3 +0 + 0 = 2. 0. 3 + 0 = det A= 2. 6. Pro čtvercovou matici platí: a) jsou-li její řádky závislé, je její determinant roven nule b) jsou-li její řádky nezávislé, je její determinant různý od nuly

To je tedy další pomůcka k zjišťování závislosti vektorů… Př.: jsou tyto vektory závislé nebo nezávislé? (1, -2, 1) Jsou tři a mají tři souřadnice, je to čtvercové, mohu použít determinant…. (2, 0, -2) (1, 6, -7) 1, -2, 1 2, 0, -2 0 + 12 + 4 – ( 0 – 12 + 28) = 16 - 16= 1, 6, -7 1, -2, 1 vektory jsou lineárně závislé… 2, 0, -2

Poslední dva pojmy….. 7. Čtvercová matice je tzv. a) singulární, je-li její determinant roven nule b) regulární, je-li její determinant různý od nuly Je tedy regulární, má-li nezávislé řádky, tedy h=n, a je singulární, má-li řádky závislé, tj. h<n. Někdy se v aplikacích narazí na tuto poslední vlastnost determinantů: 8. Je –li C = A.B, potom detC= detA . det B. -2 -1 Př.: 10 -1 det =-3 det =-4 det =12

Cramerovo pravidlo Je to aplikace determinantů na řešení čtvercových soustav rovnic. Jak jsme však minule konstatovali, řešení každé soustavy, ať má původně jakýkoliv rozměr, končí řešením čtvercové soustavy s HT maticí o rozměru h x h… h = h Můžeme tedy použít Cramerovo pravidlo na zpětný chod při řešení libovolné soustavy. Jeho výhodou je, že všechny neznámé se počítají ze stejného vzorce, je to mechanická věc…

Mějme tedy nehomogenní čtvercovou soustavu n rovnic pro n neznámých s regulární maticí A (tj. detA není nula) a označme matici, která vznikne z matice A tak, že její j-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran A j j Potom každá neznámá se vypočte ze vzorce j=1, 2, …. , n

Př.: 1 2 2 -1 x + 2y = 1 matice je regulární… det = -5 2x - y = -1 1 2 -1 -1 1 2 -1

Př.: x + y + z = 1 1 1 2 -1 2 1 -1 -2 2x – y + 2z = 2 det = 2-2+2-(-1-2-4) = 9 x – y - 2z = 0 matice je regulární… 1 2 1 2 -2 1 -1 1 2 1 2 1 2 -2 1 2 1 -1 1 2 = 6 = 3 = 0

Vektorový součin Pro dva vektory v prostoru se zavádí kromě skalárního součinu (což je číslo) ještě tzv. vektorový součin, což je vektor. označení… D.: Vektorový součin dvou vektorů je vektor, pro nějž platí: a) je úhel, který vektory svírají b) c) je kolmý jak k vektoru , tak k vektoru , čili d) směr vektoru se určuje pravidlem pravé ruky… pravá ruka…

V souřadnicích to dopadne takto: Je-li potom jsou jednotkové vektory souřadnicových os … báze prostoru , kde Je to symbolický determinant … vypočítaný vektor vyjde jako lineární kombinace báze Je kolmý k oběma dvěma? (-2,2,2).(1,2,-1)= Př.: (-2,2,2).(0,2,-2)= 1 2 -1 Je, je to dobře… = 0 2 -2 takže 1 2 -1

Je jasné z předchozího: jsou-li vektory a závislé, je Vektorový součin má některé vlastnosti podobné normálnímu součinu: a) je-li a číslo, potom b) distributivní zákon podobně jako násobení matic není vektorový součin komutativní

Geometrický význam vektorového součinu je plocha rovnoběžníku, jehož strany jsou dané vektory: Potom plocha trojúhelníka je půlka toho…vektory musí být vždy umístěny do jednoho bodu…

Př.: Vypočtěme plochu trojúhelníka, jehož vrcholy jsou body: A=(1, 2, -1) B=(-1, -2, 0) C=(1, 0, -2) C A B -2 -4 1 0 -2 -1 -2 -4 1

Smíšený součin Smíšený součin tří vektorů v prostoru je číslo Je-li potom spočítáme smíšený součin buď přímo, nebo pomocí determinantu: Z vlastností determinantu je jasné, že platí: vždycky se přehodí dva řádky…..

Př.: Vypočtěme smíšený součin vektorů (1, 2, -1) 1, 2, -1 (1, 0, -2) 1, 0, -2 =0-1+8-(0-2-2)= 11 (-2, 1, -1) -2, 1, -1 1, 2, -1 1, 0, -2 Geometrický význam smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou dané vektory, umístěné do stejného bodu. výška plocha základny

Jednotkový vektor Ještě dvě poznámky k vektorům v : 1. Máme-li vektor , jednotkový vektor v témže směru je vektor Má délku jedna a míří směrem vektoru . 1 velikost Chceme-li vytvořit vektor v daném směru délky L, Př.: Vytvořme jednotkový vektor ve směru vektoru je to vektor

Pravoúhlý průmět a složka Ve fyzice je často potřeba udělat rozklad vektoru na složky. průmět vektoru do ….P .. číslo Složka je vektor, který má směr vektoru a velikost P . Tedy složka .. vektor Je-li tupý úhel, vyjde P záporné… - +

Mějme vektory (-1, 2, 1) (1, -1, 1) Vypočtěme pravoúhlý průmět a pravoúhlou složku vektoru do vektoru . -1-2+1=-2 průmět je záporný, úhel, který vektory svírají, je tupý…… P Složka míří na opačnou stranu, než vektor .

Analytická geometrie v rovině Geometricky vzato se rovina, neboli skládá z bodů. Každý má dvě souřadnice: rozdíl bodů je vektor umístěný do bodu A. A .. počáteční bod, B .. koncový bod vektoru Píše se také čili bod plus vektor je bod … koncový bod vektoru, umístěného do bodu A B A Součet dvou bodů není nic….

Máme-li dva body v rovině jejich vzdálenost se vypočte Pythagorovou větou Rovina, kde se takhle počítá vzdálenost, se nazývá dvourozměrný Eukleidovský prostor. Vzdálenost se dá taky počítat, tj. měřit, jinak… y Každá funkce, která má následující vlastnosti, může sloužit jako vzdálenost.. B 1. 2. A x 3. 4.

Např. zaveďme v rovině jinou vzdálenost vztahem: Dá se ukázat, že funkce splňuje vlastnosti 1. až 4. může tedy sloužit na měření vzdálenosti dvou bodů… body jsou při tomto měření blíž než normálně… není to ale Eukleidovský prostor… y některé vztahy jsou úplně jiné.. B Např. kružnice jsou hranaté… x A

Kružnice je množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost… je kružnice se středem v nule a poloměrem 1. 1 Analogická množina je čtverec se středem v nule a s hranou dlouhou 2 1 -1 To je jen pro zajímavost….. 1 -1

Máme-li dva body v rovině, střed úsečky AB má souřadnice Hlavním geometrickým útvarem v rovině je přímka. Je popsána především rovnicí parametrickou. X X Ta vystihuje podstatu přímky stačí bod a tzv. směrový vektor B A a je stejná ve všech prostorech… Je-li dána dvěma body, vektor je jejich rozdíl X X

Toto je rovnice symbolická a realizuje se se vždy tolika konkrétními rovnicemi, kolik je souřadnic, v rovině tedy dvěma…. Př.: Napišme parametrické rovnice přímky, která prochází body A=(2, 3) a B=(-4, 1) (-6, -2) x = 2 – 6t y = 3 – 2t

Obecná rovnice přímky V rovině ( a jen v ní) má přímka ještě rovnici obecnou. Ta vyplývá z toho, že v rovině je k přímce jen jeden kolmý směr. Označme jakýkoliv z vektorů, který tento směr určují …tzv. normálový vektor, bod A je libovolný pevný bod přímky a bod X je jakýkoliv obecný bod přímky A Potom je vektor X-A vždycky kolmý na vektor , takže jejich skalární součin je nula! X V souřadnicích: a x + b y + c = 0

a x + b y + c = 0 Obecná rovnice přímky má tu významnou vlastnost, že koeficienty u x a y jsou souřadnice vektoru, na tuto přímku kolmého… Př.: Napišme obecnou rovnici přímky, která prochází body A=(1, -1) a B=(-2, 1). Směrový vektor přímky je B-A=(-3, 2). Normálový vektor je nějaký, na tento vektor kolmý (uděláme ho tak, že přehodíme souřadnice a u jedné změníme znaménko… takže všechny přímky, napíchnuté na vektor mají rovnici Máme a a b…. 2 x + 3 y + c = 0 Naše je ta, na níž leží bod A nebo B…dosaďme tam třeba A a máme to c…. B 2 x + 3 y + 1 = 0 A 2 .1 + 3.(-1) + c = 0, tedy c=1.

Vzdálenost bodu od přímky Mějme teď přímku zadanou obecnou rovnicí a bod mimo ni. Chceme spočítat vzdálenost d(P,p) bodu P od přímky p: ax + by + c = 0 P Hledaná vzdálenost je vlastně pravoúhlý průmět vektoru P-A do normálového vektoru . d(P,p) p . Tedy: A Průmět může být i záporný, musíme to vzít v absolutní hodnotě, tedy:

Znamená to, že bod P dosadíme do levé strany obecné rovnice přímky, vezmeme toto číslo kladně a vydělíme ho velikostí normálového vektoru. Př.: Jakou vzdálenost má bod P=(1, 2) od přímky p: x – 2y + 4 = 0 ?

Analytická geometrie v prostoru Teď uděláme totéž v prostoru, neboli v Bude to samozřejmě analogické…. Body a vektory mají tři souřadnice: je vzdálenost dvou bodů, prostor s takto měřenou vzdáleností se nazývá třírozměrný Eukleidovský prostor. střed úsečky AB má souřadnice

Přímka v prostoru Přímka má v prostoru pouze rovnici parametrickou… již neplatí, že je k ní kolmý jeden směr, ale nekonečně směrů… parametrická rovnice se realizuje třemi rovnicemi pro tři souřadnice… Př.: Napišme parametrické rovnice přímky, která prochází body A=(1, -2, 3) a B=(3, 1, –2). x = 1 + 2t y = -2 + 3t =(2, 3, -5) z = 3 – 5t

Rovina Rovina má v prostoru především rovnici parametrickou. Ta zase vyjadřuje podstatu roviny… stačí bod a dva nezávislé vektory X C B A X Je-li dána třemi body, které neleží v jedné přímce, je potom

Př.: Napišme parametrické rovnice roviny, která prochází body A=(1, -1, 2), B=(2, -1, 3) a C=(0, 3, -2). x = 1 + t - s B-A=(1, 0, 1) y = -1 + 4s C-A=(-1, 4, -4) z = 2 + t – 4s

Obecná rovnice roviny Rovina má v prostoru tu samou vlastnost jako přímka v rovině… je na ní kolmý jen jeden směr… má tedy také rovnici obecnou Označme jakýkoliv z vektorů, který tento směr určují …tzv. normálový vektor, bod A je libovolný pevný bod roviny a bod X je jakýkoliv obecný bod roviny A X Potom je vektor X-A vždycky kolmý na vektor , takže jejich skalární součin je nula, tedy Provedeme-li analogický výpočet v souřadnicích jako u přímky v rovině, dostaneme konkrétní tvar a x + b y + cz + d = 0 kde zase a, b, c jsou souřadnice normálového vektoru.

Známe-li dva vektory roviny, normálový vektor bude jejich vektorový součin…je kolmý k oběma, tedy k celé rovině. Př.: Napišme obecnou rovnici roviny, která je dána body A=(-1, 2, 1), B=(3, 2, -2), C=(2, 0, 1). B-A=(4, 0, -3), Vytvoříme dva nezávislé vektory roviny: C-A=(3, -2, 0). 4 0 -3 = = 3 -2 0 takže 4 0 -3 Všechny roviny, napíchnuté na náš vektor mají rovnice -6x – 9y - 8z + d = 0 A Na naší leží třeba bod A, dosaďme ho tam.. d =20. -6.(-1) – 9.2 – 8.1 + d = 0, -6x – 9y - 8z + 20 = 0

Vzdálenost bodu od roviny Podobně jako pro obecnou rovnici přímky odvodíme vzorec pro vzdálenost bodu A od roviny : : a x + b y + cz + d = 0 Př.: Vzpočtěme vzdálenost bodu A=(0, 1, 0) od roviny z posledního příkladu -6x – 9y - 8z + 20 = 0

Vzájemné vztahy Vyšetřování vzájemných vztahů přímek mezi sebou, přímek a rovin a rovin mezi sebou je řešení soustav rovnic. Př.: Jaký vzájemný vztah mají přímky Hledáme společné body… položíme sobě rovné všechna souřadnice a soustavu vyřešíme. x=2-t y=3+2t z=1+t x=1+s y=1-s z=3-2s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2- t =1+s 3+2t=1-s 1+ t =3-2s -t- s =-1 2t+s=-2 t+2s= 2 2 1 -2 0 -1 -4 0 -1 -4 0 1 1 0 0 -3 1 2 2 Soustava nemá řešení, přímky jsou mimoběžné.

x=1+s y=1-s z=3-2s Př.: Jaký je vzájemný vztah mezi přímkou a rovinou 2x + y – z + 3 = 0. Dosadíme přímku do roviny a zjistíme parametr průsečíku, jestli nějaký vůbec je…. 3s=-3 s=-1 2(1+s)+1-s-(3-2s)+3=0, Mají společný bod…dosadíme jeho parametr do přímky a máme ho… x=0, y=2, z=5 P=(0, 2, 5)

Př.: Jaký vzájemný vztah mají roviny x – y + 2z – 1 = 0 a 2x + y – z – 1 = 0? Hledáme společné body, řešíme to jako soustavu… Soustava má řešení… h=2, n=3 volíme jeden parametr 1 -1 2 1 1 -1 2 1 0 3 -5 -1 2 1 -1 1 z=t x – y + 2z = 1 x – y = 1 – 2t 3y = -1 + 5t 3y - 5z = -1 Společné body tvoří přímku, to jsou její parametrické rovnice bod směrový vektor

Analytická geometrie v n dimenzích Protože prostor je zobecnění roviny, geometrie v bude analogická geometrii v rovině. Body a vektory mají tentokrát n souřadnic…. Vzdálenost: je vzdálenost dvou bodů, prostor s takto měřenou vzdáleností se nazývá n-rozměrný Eukleidovský prostor. Střed úsečky:

Přímka i rovina mají pouze parametrické rovnice které se realizují n rovnicemi pro každou souřadnici… . . . . . . . . . . . Obecnou rovinu má tentokrát prostor , kterému se říká nadrovina. Práce s ní se odkládá do Matematiky II….

PF 2005 Každou středu po zkoušce, tak ve 4 hodiny, budou konzultace…..kdo chce může přijít.

Př.: tentýž, vyberme třeba druhý sloupec…n=4,i=1,…,4,k=2 2 -3 0 -1 1 -1 2 -2 0 2 -1 0 2 1 -1 -1 -1 2 -2 2 -1 0 1 -1 1 -3 0 -2 2 -1 + 0 1 -1 2 +1 = 1 -3 0 -1 -1 2 0 1 -1 1 -3 0 -1 -1 2 -2 2-1 +0 + 2