VY_32_INOVACE_MAT_VA_07 Digitální učební materiál Sada: Matematika Téma: Komplexní čísla – grafické řešení rovnic s absolutní hodnotou Autor: Mgr. Eva Vaňková Předmět: Matematický seminář Ročník: 3. ročník VG Využití: Prezentace určená pro výklad Anotace: Prezentace s výkladem opakuje geometrickou definici absolutní hodnoty reálného čísla a využívá jí k definování absolutní hodnoty čísla komplexního. Řeší graficky jednoduché rovnice s absolutní hodnotou v oboru čísel komplexních. Kromě vzorových úloh obsahuje úlohy k procvičení včetně výsledků.

Komplexní čísla – grafické řešení rovnic s absolutní hodnotou VY_32_INOVACE_MAT_VA_07

𝑧 =3. Úloha 1 Na číselné ose znázorněte obrazy reálných čísel 𝑥, pro která platí 𝑥 =3. V Gaussově rovině znázorněte obrazy komplexních čísel 𝑧, pro která platí 𝑧 =3.

Úloha 1a(řešení): Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku. 𝒙 𝟏 =−𝟑 𝒙 𝟐 =𝟑

Úloha 1b(řešení): Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla v Gaussově rovině od počátku souřadnic. 𝒌 𝑺 𝟎,𝟎 , 𝒓=𝟑

𝑧−2+𝑖 =3. Úloha 2 Na číselné ose znázorněte obrazy reálných čísel 𝑥, pro která platí 𝑥−2 =3. V Gaussově rovině znázorněte obrazy komplexních čísel 𝑧, pro která platí 𝑧−2+𝑖 =3.

Úloha 2a(řešení): 𝑥−2 =3 Vzdálenost 3 měříme od nulového bodu 2. 𝒙 𝟏 =−𝟏 𝒙 𝟐 =𝟓

Úloha 2b(řešení): 𝑧−2+𝑖 =3 nulový bod: 2−𝑖 𝒌 𝑺 𝟐, −𝟏 , 𝒓=𝟑

𝑧−2+𝑖 = 𝑧+2−3𝑖 . Úloha 3 Na číselné ose znázorněte obrazy reálných čísel 𝑥, pro která platí 𝑥−2 = 𝑥+4 . V Gaussově rovině znázorněte obrazy komplexních čísel 𝑧, pro která platí 𝑧−2+𝑖 = 𝑧+2−3𝑖 .

Úloha 3a(řešení): 𝑥−2 = 𝑥+4 nulové body: 2, −4 Hledáme číslo, které má stejnou vzdálenost od nulových bodů. 𝒙=−𝟏

Úloha 3b(řešení): 𝑧−2+𝑖 = 𝑧+2−3𝑖 nulové body: 2−𝑖, −2+3𝑖 Hledáme v Gausssově rovině body, které mají od nulových bodů stejnou vzdálenost.

osa úsečky 𝑨𝑩, 𝑨 𝟐, −𝟏 , 𝑩 −𝟐, 𝟑

Úlohy k procvičení V Gaussově rovině znázorněte obrazy komplexních čísel 𝑧, pro která platí: A) 𝑧−1+𝑖 =5 B) 𝑧−𝑖 =1 C) 𝑧 = 𝑧−2+𝑖 D) 𝑧−1 = 𝑧−3𝑖

Výsledky úloh

A) 𝑧−1+𝑖 =5 𝒌 𝑺 𝟏, −𝟏 , 𝐫=𝟓

B) 𝑧−𝑖 =1 𝒌 𝑺 𝟎, 𝟏 , 𝒓=𝟏

C) 𝑧 = 𝑧−2+𝑖 osa úsečky 𝑨𝑩, 𝑨 𝟎, 𝟎 , 𝑩 𝟐, −𝟏

D) 𝑧−1 = 𝑧−3𝑖 osa úsečky 𝑨𝑩, 𝑨 𝟏, 𝟎 , 𝑩 𝟎, 𝟑

Zdroje: 1) program Graph 4.3 KUBÁT, Josef – HRUBÝ, Dag – PILGR, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometheus, 1996. ISBN 80-7196-030-6. PETÁKOVÁ, Jindra. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-099-3.