BRVKA Georg F.B. Riemann ( )

BRVKA Známe různé inverzní procesy (i matematické), integrování je inverzní proces k derivování. Definice: I je otevřený interval, f (x) a F(x) jsou funkce definované na intervalu I. Jestliže pro všechna x z I platí: F´(x) = f(x), nazývá se funkce F(x) primitivní funkcí k funkci f(x), nebo též neurčitý integrál funkce f(x) na intervalu I. Zapisujeme: Poznámky: Existuje-li k funkci f (x) neurčitý integrál na intervalu I, nazývá se funkce f(x) integrovatelná na I. Ke každé spojité funkci existuje primitivní funkce, bohužel jí někdy neumíme najít. Označení primitivní funkce mylně naznačuje, že integrování je jednoduché, takže budeme používat označení integrál.

BRVKA Víme: Derivace konstanty je rovna 0. Zderivujeme-li dvě funkce lišící se o konstantu, získáme stejný výsledek: Podle definice jsou funkce F(x) i F(x)+C integrálem stejné funkce f(x). Proto budeme zapisovat výsledek integrování: kde C (reálné) je tzv. integrační konstanta. Z toho vyplývá, že integrálů téže funkce je nekonečně mnoho a navíc se rovnají až na tuto konstantu.

BRVKA Typické zadání: Ověřte, že funkce F(x) a G(x) jsou integrály téže funkce f(x). Možnosti řešení: a) Určíme integrační konstantu C jako rozdíl F(x) – G(x). b) Najdeme F´(x) a G´(x) a porovnáme je. Poznámka: Vybíráme tu jednodušší možnost řešení. Správně bychom měli ještě ověřovat definiční obory, to dělat nebudeme, důvěřujeme tomu, kdo příklad vymyslel.

BRVKA Poznámka: Pro součin, podíl a složenou funkci vzorce nejsou.

BRVKA Určete integrály následujících funkcí:

BRVKA Funkce typu f(ax + b) je složená funkce, kterou umíme snadno integrovat, platí: Funkci integrujeme (pomocí tabulky) jako kdyby se jednalo o f(x) a výsledek vydělíme a (koeficientem u x).

BRVKA Integrační metoda per partes umožňuje integrovat některé funkce ve tvaru součinu. Vychází z derivace součinu: Pokud vztah zintegrujeme, vyjde: nabízí se nám možnost, vypočítat jeden z integrálů na pravé straně pomocí druhého. To je základní myšlenkou metody per partes, pokud má integrál tvar součinu, platí: Poznámka: jednu funkci musíme umět integrovat (označíme ji v´), druhou derivovat (označíme ji u).

 Typické funkce, na které můžeme použít metodu PP: BRVKA Součin polynomu a snadno integrovatelné funkce. Polynom bude u, druhá funkce bude v´. Při každém použití per partes se sníží stupeň polynomu, někdy je nutno opakovat PP vícekrát. Součin polynomu a mocniny logaritmu. Polynom bude tentokrát v´, druhá funkce bude u. Nezáleží na tom, kterou funkci jak označíme, ale vždy musíme PP použít dvakrát, vyjde rovnice, viz.dále.

BRVKA Vstupní krok píšeme do svislítek. Označíme si funkce u a v´. Provedeme pomocné výpočty, u zderivujeme, v´zintegrujeme. Dosadíme do vzorce pro per partes a dopočítáme.

BRVKA Toto sice jako funkce na per partes nevypadá, ale lehce si ji na vhodný tvar upravíme vynásobením číslem 1. Zkuste nyní tentýž integrál jinou metodou:

BRVKA Typ úloh, kde 2× využijeme metodu per partes. Po druhém použití získáme tentýž integrál jako na začátku a úlohu převedeme na rovnici. Dále nepočítáme a dosadíme. K celé rovnici přičteme zarámovaný integrál a vydělíme dvěma:

A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost. BRVKA