Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 04 Operace, jejich vlastnosti, struktury jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Zobrazení a jeho druhy, binární operace v množině, vlastnosti binárních operací (úplnost, komutativita, asociativita, existence neutrálního prvku a inverzních prvků), distributivnost binárních operací, matematické struktury (pologrupa, grupa, těleso).

Zobrazení a jeho druhy

Zobrazení Definice: Binární relaci F  A  B nazýváme zobrazením právě tehdy, když  (xA) (y,zB) x F y  x F z  y  z , tj. (xA) (y,zB) x F y  x F z  y = z . U zobrazení jsou tedy zakázány tyto konfigurace:

Prosté zobrazení Definice: Zobrazení F  A  B nazýváme prosté právě tehdy, když  (x,yA) (zB) x F z  y F z  x  y , tj. (x,yA) (zB) x F z  y F z  x = y . U prostých zobrazení jsou zakázány tyto konfigurace:

Druhy zobrazení mezi množinami A, B Je-li dáno zobrazení F  A  B, pak jeho první i druhý obor jsou podmnožinami množin A, B, tedy platí ⃞F  A  F⃞  B . V tomto obecném případě nazýváme zobrazení F zobrazením z množiny A do množiny B. Mohou však nastat případy, kdy platí, že ⃞F = A , resp. F⃞ = B , resp. obojí. V těchto případech užíváme pro zobrazení speciální názvy:

Druhy zobrazení mezi množinami A, B Nechť je dáno zobrazení F  A  B. Jestliže platí ⃞F = A  F⃞  B , pak F nazýváme zobrazením množiny A do množiny B. Jestliže platí ⃞F  A  F⃞ = B , pak F nazýváme zobrazením z množiny A na množinu B. Jestliže platí ⃞F = A  F⃞ = B , pak F nazýváme zobrazením množiny A na množinu B.

Vzájemně jednoznačné zobrazení Je-li F prosté zobrazení množiny A na množinu B, nazývá se F vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. Příklady: Funkce y = x2 je vzájemně jednoznačným zobrazením množiny 1 2 3 4 na množinu 1 4 9 16. Funkce y = 2x je vzájemně jednoznačným zobrazením množiny všech reálných čísel na množinu všech kladných čísel.

Binární operace v množině

Příklad binární operace - sčítání Při sčítání přirozených čísel je ke dvojici libovolně zvolených čísel (tzv. sčítanců) jednoznačně přiřazen výsledek (tzv. součet). Například: 2 + 3 = 5 ……. 2  3  5 4 + 2 = 6 ……. 4  2  6 9 + 0 = 9 ……. 9  0  9 12 + 9 = 21 ……. 12  9  21 atd.

Příklad binární operace - sčítání Operaci sčítání přirozených čísel tedy můžeme chápat jako určité zobrazení kartézského součinu N0  N0 na množinu N0 .

Příklady dalších binárních operací Umocňování přirozených čísel, Sčítání, odčítání, násobení a dělení celých (racionálních, komplexních) čísel, konjunkce (disjunkce, implikace, ekvivalence) dvou výroků, průnik (sjednocení, rozdíl) dvou množin, sčítání či násobení reálných funkcí, střed dvojice bodů, největší společný dělitel (nejmenší společný násobek) dvou přirozených čísel, atd.

Definice binární operace Binární operací v množině M nazýváme zobrazení z kartézského součinu M  M = M2 do množiny M . Příklady: Binární operace sčítání přirozených čísel je zobrazení množiny N0  N0 na množinu N0 . Binární operace odčítání přirozených čísel je zobrazení z množiny N0  N0 na množinu N0 . Binární operace „následovník součinu“ přirozených čísel je zobrazení množiny N0  N0 do množiny N0 .

Vlastnosti binární operace v množině

Motivační příklad U binárních operací je důležité, zda je operace zobrazením (celé) množiny M  M do množiny M , nebo pouze z množiny M  M do množiny M . V prvním případě je výsledek operace definován pro libovolnou dvojici x  y  M  M a je prvkem množiny M, v druhém případě není některým dvojicím x  y M  M přiřazen obraz z množiny M. Příklad: Učí-li se děti sčítat například jen v množině M = {1;2;3;4;5}, je operace sčítání v M tzv. neúplná. + 1 2 3 4 5

Definice úplnosti binární operace Binární operaci  v množině M nazýváme úplnou právě tehdy, když platí (x,yM)(z M ) x  y = z . Příklady: operace sčítání je úplná v N0 , operace odčítání není úplná v N0, operace odčítání je úplná v Z, operace dělení není úplná v Q, operace umocňování není úplná v Q, atd.

Motivační příklad Při nácviku násobení přirozených čísel se děti učí, že výsledek nezávisí na pořadí činitelů, například 2 . 3 = 3 . 2 . Tento fakt můžeme odůvodnit na „modelu násobení“: V těchto situacích užíváme tzv. komutativitu násobení: x . y = y . x

Definice komutativnosti binární operace Binární operaci  v množině M nazýváme komutativní právě tehdy, když platí (x,yM) x  y = y  x . Příklady: operace sčítání je komutativní v N0 , operace odčítání není komutativní v Z, operace střed dvojice bodů je komutativní, operace průnik ve V je komutativní, operace umocňování není komutativní v N0 .

Motivační příklad Při nácviku sčítání přirozených čísel „přes desítku“ naučíme děti rozkládat čísla na dva sčítance, a pak postupujeme například takto: 8 + 7 = 8 + ( 2 + 5 ) = ( 8 + 2 ) + 5 = 10 + 5 = 15 Užíváme přitom tzv. asociativitu sčítání: x + ( y + z ) = ( x + y ) + z

Definice asociativnosti binární operace Binární operaci  v množině M nazýváme asociativní právě tehdy, když platí (x,y,zM) ( x  y)  z = x  ( y  z ) . Příklady: operace sčítání je asociativní v N0 , operace odčítání není asociativní v Z, operace umocňování není asociativní v N0, operace sjednocování je asociativní, atd.

Motivační příklad U některých binárních operací v množině M existuje jistý význačný prvek v množině M s touto vlastností: „je-li tento prvek jedním z operandů, pak vůbec neovlivňuje výsledek operace, tj. výsledek je vždy roven druhému operandu“. Příklad: U sčítání přirozených čísel je takovým prvkem nula, protože 5 + 0 = 5 , 12 + 0 = 12 , 0 + 4 = 4 , atd. Budeme říkat, že číslo 0 je neutrálním prvkem operace sčítání přirozených čísel.

Definice neutrálního prvku binární operace U binární operace  v množině M budeme nazývat prvek n neutrálním prvkem právě tehdy, když platí (xM) x  n = x  n  x = x . Příklady: u operace sčítání v N0 je neutrálním prvkem 0, operace odčítání v Z nemá neutrální prvek, u operace násobení v Q je neutrálním prvkem 1, u operace sjednocení je neutrálním prvkem , operace střed dvojice bodů nemá neutrální prvek.

Motivační příklad U binárních operací v množině M, které mají neutrální prvek, můžeme nastat tato situace: k prvku x  M lze nalézt (obecně) jiný, tzv. inverzní prvek x´ M , kdy výsledkem operace s těmito prvky je neutrální prvek. Příklad: U sčítání celých čísel je neutrální prvek 0 a tedy k číslu 3 je inverzním prvkem (-3), protože 3 + (-3) = 0 , k číslu (-7) je inverzním prvkem 7, protože (-7) + 7 = 0 , k číslu 0 je inverzním prvkem 0, protože 0 + 0 = 0 , atd.

Definice inverzních prvků binární operace U binární operace  v množině M s neutrálním prvkem n budeme nazývat prvek x´ inverzním prvkem k prvku x právě tehdy, když platí x  x´ = n  x´  x = n. Příklady: u operace sčítání v Q je k číslu 3 inverzním prvkem číslo (–3) , u operace násobení v Q je k číslu 3 inverzním prvkem číslo 1/3 , u operace sjednocování ve V nemá žádná neprázdná množina inverzní prvek, atd.

Distributivnost dvou binárních operací v množině

Motivační příklad V aritmetice čísel je často používáno dobře známé pravidlo o „roznásobování závorky“. Příklad: Máme-li zpaměti vypočítat součin 3 .17 , postupujeme v myšlenkách takto: 3 . 17 = 3 . (10 + 7) = 3 . 10 + 3 . 7 = 30 + 21 = 51 Zde používáme tzv. distributivitu násobení vůči sčítání, tedy platnost vztahu x . (y + z) = x . y + x . z

Definice distributivnosti binárních operací Nechť jsou dány dvě binární operace  a  v množině M. Budeme říkat, že operace  je distributivní vzhledem k operaci  právě tehdy, když platí (x,y,zM) ( x  y )  z = ( x  z )  ( y  z )   z  ( x  y ) = ( z  x )  ( z  y ) . Příklady: násobení je distributivní vzhledem ke sčítání, sčítání není distributivní vzhledem k násobení, sjednocení je distributivní vzhledem k průniku, atd.

Matematické struktury

Definice matematické struktury Uspořádanou n-tici [ M; R1; R2; … ; O1; O2; … ] budeme nazývat matematickou strukturou právě tehdy, když M je množina (tzv. nosič struktury), R1; R2; … jsou binární relace v množině M a O1; O2; … jsou binární operace v množině M . Příklady matematických struktur: [ N0; = ; < ; + ; . ], [ Z; + ], [ V ;  ;  ;  ; - ], atd.

Definice pologrupy Strukturu [ M; O ] budeme nazývat pologrupou právě tehdy, když binární operace O je v množině M úplná a asociativní. Je-li operace O v množině M navíc komutativní, nazývá se struktura [ M; O ] komutativní pologrupa. Příklady: [ N0; + ] je komutativní pologrupa, [ Z; - ] není pologrupa, [ Q; . ] je komutativní pologrupa, [ V ;  ] je komutativní pologrupa.

Definice grupy Strukturu [ M; O ] budeme nazývat grupou právě tehdy, když binární operace O je v množině M úplná, asociativní, má neutrální prvek a má všechny inverzní prvky. Je-li operace O v množině M navíc komutativní, nazývá se struktura [ M; O ] komutativní grupa. Příklady: [ N0; + ] není grupa, [ Z; + ] je komutativní grupa, [ Q; . ] není grupa, [ V ;  ] není grupa.

Definice tělesa Strukturu [ M; O1 ; O2 ] budeme nazývat tělesem právě tehdy, když : struktura [ M; O1 ] je komutativní grupa, struktura [ M - {n}; O2 ] je grupa (kde n je neutrální prvek první operace O1 ), operace O2 je distributivní vzhledem k O1 . Je-li navíc i druhá operace komutativní, tedy struktura [ M - {n}; O2 ] je komutativní grupa, budeme strukturu [ M; O1 ; O2 ] nazývat komutativním tělesem.

Příklady [ Q ; + ; . ] je komutativní těleso [ Z ; + ; . ] není těleso (operace násobení nemá inverzní prvky) [ D ; + ; . ] není těleso (například číslo 3 nemá inverzní prvek vzhledem k násobení) [ R ; + ; . ] je komutativní těleso,

Co je třeba znát a umět? Zobrazení, jeho obory a jeho druhy, prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení, operace v množině, příklady konkrétních operací, vlastnosti operací v množině (úplnost, komutativita, asociativita, existence neutrálního prvku, existence inverzních prvků, distributivita), matematické struktury (pologrupa, grupa, těleso) a jejich vlastnosti, příklady konkrétních struktur.

Děkuji za pozornost