5. Přednáška funkce BRVKA Johann P.G.L. Dirichlet (1805 – 1859)

BRVKA Funkce z praxe V praktickém životě se setkáváme s funkcemi, aniž o tom víme. Vždy to funguje tak, že hodnota jednoho typu (např. teplota, peníze, elektrický proud, spotřeba něčeho) závisí na hodnotě jiného typu – většinou na čase. Vývoj na burze EEG EKG Teplota v průběhu let Demografická křivka

BRVKA Pojem funkce Definice: Reálná funkce f(x) je zobrazení z množiny A do množiny reálných čísel. Funkce f(x) je předpis, který každému prvku x z množiny A jednoznačně přiřadí reálné číslo y. Značení: f(x) = y, znamená – číslu x bylo přiřazeno číslo y. Poznámka: Každému x je přiřazeno maximálně jedno y. Na kterém obrázku NENÍ funkce a proč? Jednomu x je přiřazeno více čísel y.

Definiční obor a obor hodnot BRVKA Definiční obor a obor hodnot Definice: Množinu všech x, kterým je předpisem funkce f(x) přiřazeno reálné číslo y, nazýváme definiční obor funkce f. Poznámka: Je to množina všech čísel, kterým je nějaké y přiřazeno nebo kterým by mohlo být přiřazeno. Pokud není zadán, bereme ten maximální možný. Značení: Df(x) nebo D(f) Definice: Množinu všech y, která jsou předpisem funkce f(x) přiřazena číslům x, nazýváme obor hodnot funkce f. Značení: Rf(x) nebo R(f)

BRVKA PROSTÉ Zobrazení Prosté zobrazení dvěma různým prvkům z definičního oboru přiřazuje různé prvky z oboru hodnot. JE PROSTÉ NENÍ PROSTÉ Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů. Mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor. K prostému zobrazení f existuje inverzní zobrazení f-1 které původním obrazům přiřazuje jejich vzory.

BRVKA Zobrazení na Zobrazení na zobrazuje na celou cílovou množinu. Každý prvek cílové množiny má tedy alespoň jeden vzor. JE NA NENÍ NA Nestane se tedy, že by byl v cílové množině prvek „navíc“. Pokud je zobrazení prosté a zároveň na, označujeme ho jako vzájemně jednoznačné. To znamená, že každý prvek z definičního oboru má „svůj“ prvek z oboru hodnot.

Graf funkce y=f(x) [x,f(x)] x BRVKA Graf funkce Definice: Graf funkce f(x) je množina bodů v rovině o souřadnicích [x, f(x)], tj. bodů [x,y], kde y = f(x). y=f(x) [x,f(x)] x Nezávisle proměnná Závisle proměnná

Jak poznat z Grafu funkci? BRVKA Jak poznat z Grafu funkci? Každému x je přiřazeno maximálně jedno y. Vedeme svislé čáry rovnoběžné s osou y, graf nesmí být protnut víckrát. Pokud je každou svislou přímkou protnut graf maximálně jednou, jedná se o funkci. Na kterých obrázcích jsou grafy funkcí? Není funkce. Není funkce. Není funkce. ANO

Jak poznat prostou funkci? BRVKA Jak poznat prostou funkci? Každému x je přiřazeno jiné y. Vedeme vodorovné čáry rovnoběžné s osou x, graf nesmí být protnut víckrát. Pokud je každou vodorovnou přímkou protnut graf maximálně jednou, jedná se o prostou funkci. Na kterých obrázcích jsou grafy prostých funkcí? Není prostá. Je prostá. Není prostá. Je prostá.

BRVKA Jak poznat D(f) a R(f)? Definiční obor je množina x, kterým je přiřazeno nějaké y. Obor hodnot je množina y, která jsou přiřazena nějakému x. Promítneme graf na osu x. Hledáme „stín“. Interval, který získáme, je D(f). Promítneme graf na osu y. Interval, který získáme, je R(f). Určete z grafů D(f) a R(f). D(f) R(f) D(f) R(f)

BRVKA Omezenost funkce Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f). Funkce f(x) je shora omezená (ohraničená), jestliže existuje takové číslo H (horní mez), že platí: (Všechny funkční hodnoty y jsou menší nebo rovny H) Funkce f(x) je zdola omezená (ohraničená), jestliže existuje takové číslo d (dolní mez), že platí: (Všechny funkční hodnoty y jsou větší nebo rovny d) Funkce je omezená, jestliže je omezená shora i zdola zároveň. Shora omezená Zdola omezená Omezená Není ani zdola ani shora

Souvislost R(f) a Omezenosti BRVKA Souvislost R(f) a Omezenosti Pokud je funkce f(x) shora omezená, existuje horní mez H a všechny funkční hodnoty jsou menší nebo rovny H. Z toho plyne, že obor hodnot R(f) je shora omezený. Pokud je funkce f(x) zdola omezená, existuje dolní mez d a všechny funkční hodnoty jsou větší nebo rovny d a obor hodnot R(f) je zdola omezený. Pokud je funkce f(x) omezená, je obor hodnot R(f) omezený zdola i shora. R R R

BRVKA Monotonie funkcí Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f) a interval I je jeho podmnožinou. Funkce f(x) je na intervalu I: Rostoucí Klesající Monotónní po intervalech

BRVKA extrémy funkcí Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f) a bod a z definičního oboru. Funkce f(x) má v bodě a: Lokální maximum funkce f(x), pokud existuje nějaké okolí U(a), pro které platí: Lokální minimum funkce f(x), pokud existuje nějaké okolí U(a), pro které platí: Globální maximum funkce f(x), pokud Globální minimum funkce f(x), pokud

BRVKA extrémy Funkce má EXTRÉM V BODĚ, tj. nezajímá nás většinou, kolik je funkční hodnota extrému, ale KDE extrém je, ve kterém x. (Nezajímá nás nadmořská výška Sněžky, ale to, že nejvyšší bod ČR je právě Sněžka). Funkce má 1 globální minimum a 1 globální maximum, druhé nemá, bod nepatří do D(f). a b Funkce má pouze 1 globální maximum, jiný extrém nemá. a Funkce má: 1 globální minimum, 1 globální maximum, 1 lokální maximum a 1 lokální minimum. c d a b

BRVKA Sudost, lichost Definice: Funkce f(x) s definičním oborem D(f) je sudá, jestliže s každým x patří do D(f) i –x (číslo opačné) a platí f(x) = f(– x). Graf je osově souměrný podle osy y. Definice: Funkce f(x) s definičním oborem D(f) je lichá, jestliže s každým x patří do D(f) i –x (číslo opačné) a platí f(x) = –f(– x). Graf je středově souměrný podle počátku. Sudá Lichá Sudá Ani sudá ani lichá

BRVKA periodičnost Definice: Funkce f(x) je periodická s periodou t, jestliže f(x + t) = f(x) pro všechny hodnoty x z D(f). Funkce opakuje své hodnoty po určité konečné periodě. Celý graf lze vytvořit pomocí kopírování určité části opakované v pravidelných intervalech. Jestliže je t perioda funkce, pak i každý přirozený násobek je perioda, proto uvažujeme nejmenší periodu.

Parametrický systém funkcí BRVKA Parametrický systém funkcí Grafy některých funkcí se podobají, můžeme z jednoho vytvořit druhý pouze posunutím nebo otočením. Jsou jistá pravidla, kterými se při tom řídíme. 1. Posun po ose y Máme graf funkce f(x), z něj vytvoříme graf f(x) + c posouváním celého grafu ve směru osy y. Zachováváme znaménka … +c nahoru, –c dolů.

BRVKA 2. Posun po ose x Máme graf funkce f(x), z něj vytvoříme graf f(x + a) posouváním celého grafu ve směru osy x. Pozor: Posouváme v „protisměru“ +a vlevo do mínus x, –a vpravo do +x. f(x + 2)

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.