5. Přednáška funkce BRVKA Johann P.G.L. Dirichlet (1805 – 1859)

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval: Jan.
Advertisements

Pojem FUNKCE v matematice
* Lineární funkce Matematika – 9. ročník *
Lineární funkce - příklady
7. Přednáška limita a spojitost funkce
Funkce.
F U N K C E II Funkce 5 Mocninná funkce 3 Čihák Plzeň 2013, 2014.
Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava
Lineární funkce a její vlastnosti
Základy infinitezimálního počtu
Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky
Funkce Vlastnosti funkcí.
SHODNOST (středová, osová, posunutí, rotace)
Funkce.
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík
Základní číselné množiny
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
CZECH SALES ACADEMY Trutnov – střední odborná škola s.r.o.
Téma: Shodnosti a souměrnosti
BRVKA Leonard Paul Euler (1707 – 1783). Pod označením INVERZNÍ proces chápeme opačný děj, takový, který probíhá opačným směrem, např. tání a tuhnutí.
F U N K C E.
MATEMATIKA I.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
* Středová souměrnost Matematika – 7. ročník *
Exponenciální funkce Körtvelyová Adéla G8..
Funkce Základní pojmy. Funkce - Základní pojmy Základní pojmy Funkce  Funkce je pravidlo, které každému reálnému číslu z určité podmnožiny množiny 
Matice.
Funkce Funkce f reálné proměnné x je předpis, který každému x e R přiřadí nejvíc jedno y e R tak, že y = f(x) Definiční obor funkce D je množina všech.
Analýza 1 J.Hendl. Reálná funkce reálné proměnné Def: Nulový bod funkce je x takové, že: Def: Monotonie Funkce je rostoucí, jestliže Funkce je klesající,
3. Přednáška posloupnosti
VLASTNOSTI FUNKCÍ Příklady.
9.přednáška vyšetřování průběhu funkce
Funkce více proměnných.
Logaritmické funkce Michal Vlček T4.C.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_87.
Derivace funkce. Velikost populace v čase t 0 je N (t 0 ). Velikost populace v čase t  t 0 je N ( t ). Přírůstek populace za jednotku času je [N(t) –
Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo.
FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce
Množiny.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Diferenciální geometrie křivek
Shodné zobrazení Obrazem libovolné úsečky AB
Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞)
Funkce, funkční závislosti Lineární funkce. Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních.
Reálná funkce reálné proměnné Přednáška č.1. Požadavky ke zkoušce Na Tamtéž studijní literatura.
Funkce. Funkce - definice Funkce je zobrazení, které každému číslu z podmnožiny množiny reálných čísel R přiřazuje právě jedno reálné číslo. Funkci značíme.
Funkce Lineární funkce a její vlastnosti 2. Funkce − definice Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny.
Lineární funkce Rozdělení lineárních funkcí Popis jednotlivých funkcí.
FUNKCE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Autor: Předmět: Ročník: Název: Označení: DUM vytvořen: Mgr. Hana Němcová Matematika, seminář diferenciální a integrální počet Osmý ročník víceletého gymnázia.
Matematický milionář Foto: autor Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným.
Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny:
Funkce a jejich vlastnosti
VY_32_INOVACE_FCE1_01 Funkce 1 Definice funkce.
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM
Definiční obor a obor hodnot
Graf a vlastnosti funkce
Funkce více proměnných.
7.1 Základní pojmy Mgr. Petra Toboříková
Lineární funkce a její vlastnosti
Funkce a jejich vlastnosti
Grafy kvadratických funkcí
Výuka matematiky v 21. století na středních školách technického směru
Definiční obory. Množiny řešení. Intervaly.
Grafy kvadratických funkcí
Transkript prezentace:

5. Přednáška funkce BRVKA Johann P.G.L. Dirichlet (1805 – 1859)

BRVKA Funkce z praxe V praktickém životě se setkáváme s funkcemi, aniž o tom víme. Vždy to funguje tak, že hodnota jednoho typu (např. teplota, peníze, elektrický proud, spotřeba něčeho) závisí na hodnotě jiného typu – většinou na čase. Vývoj na burze EEG EKG Teplota v průběhu let Demografická křivka

BRVKA Pojem funkce Definice: Reálná funkce f(x) je zobrazení z množiny A do množiny reálných čísel. Funkce f(x) je předpis, který každému prvku x z množiny A jednoznačně přiřadí reálné číslo y. Značení: f(x) = y, znamená – číslu x bylo přiřazeno číslo y. Poznámka: Každému x je přiřazeno maximálně jedno y. Na kterém obrázku NENÍ funkce a proč? Jednomu x je přiřazeno více čísel y.

Definiční obor a obor hodnot BRVKA Definiční obor a obor hodnot Definice: Množinu všech x, kterým je předpisem funkce f(x) přiřazeno reálné číslo y, nazýváme definiční obor funkce f. Poznámka: Je to množina všech čísel, kterým je nějaké y přiřazeno nebo kterým by mohlo být přiřazeno. Pokud není zadán, bereme ten maximální možný. Značení: Df(x) nebo D(f) Definice: Množinu všech y, která jsou předpisem funkce f(x) přiřazena číslům x, nazýváme obor hodnot funkce f. Značení: Rf(x) nebo R(f)

BRVKA PROSTÉ Zobrazení Prosté zobrazení dvěma různým prvkům z definičního oboru přiřazuje různé prvky z oboru hodnot. JE PROSTÉ NENÍ PROSTÉ Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů. Mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor. K prostému zobrazení f existuje inverzní zobrazení f-1 které původním obrazům přiřazuje jejich vzory.

BRVKA Zobrazení na Zobrazení na zobrazuje na celou cílovou množinu. Každý prvek cílové množiny má tedy alespoň jeden vzor. JE NA NENÍ NA Nestane se tedy, že by byl v cílové množině prvek „navíc“. Pokud je zobrazení prosté a zároveň na, označujeme ho jako vzájemně jednoznačné. To znamená, že každý prvek z definičního oboru má „svůj“ prvek z oboru hodnot.

Graf funkce y=f(x) [x,f(x)] x BRVKA Graf funkce Definice: Graf funkce f(x) je množina bodů v rovině o souřadnicích [x, f(x)], tj. bodů [x,y], kde y = f(x). y=f(x) [x,f(x)] x Nezávisle proměnná Závisle proměnná

Jak poznat z Grafu funkci? BRVKA Jak poznat z Grafu funkci? Každému x je přiřazeno maximálně jedno y. Vedeme svislé čáry rovnoběžné s osou y, graf nesmí být protnut víckrát. Pokud je každou svislou přímkou protnut graf maximálně jednou, jedná se o funkci. Na kterých obrázcích jsou grafy funkcí? Není funkce. Není funkce. Není funkce. ANO

Jak poznat prostou funkci? BRVKA Jak poznat prostou funkci? Každému x je přiřazeno jiné y. Vedeme vodorovné čáry rovnoběžné s osou x, graf nesmí být protnut víckrát. Pokud je každou vodorovnou přímkou protnut graf maximálně jednou, jedná se o prostou funkci. Na kterých obrázcích jsou grafy prostých funkcí? Není prostá. Je prostá. Není prostá. Je prostá.

BRVKA Jak poznat D(f) a R(f)? Definiční obor je množina x, kterým je přiřazeno nějaké y. Obor hodnot je množina y, která jsou přiřazena nějakému x. Promítneme graf na osu x. Hledáme „stín“. Interval, který získáme, je D(f). Promítneme graf na osu y. Interval, který získáme, je R(f). Určete z grafů D(f) a R(f). D(f) R(f) D(f) R(f)

BRVKA Omezenost funkce Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f). Funkce f(x) je shora omezená (ohraničená), jestliže existuje takové číslo H (horní mez), že platí: (Všechny funkční hodnoty y jsou menší nebo rovny H) Funkce f(x) je zdola omezená (ohraničená), jestliže existuje takové číslo d (dolní mez), že platí: (Všechny funkční hodnoty y jsou větší nebo rovny d) Funkce je omezená, jestliže je omezená shora i zdola zároveň. Shora omezená Zdola omezená Omezená Není ani zdola ani shora

Souvislost R(f) a Omezenosti BRVKA Souvislost R(f) a Omezenosti Pokud je funkce f(x) shora omezená, existuje horní mez H a všechny funkční hodnoty jsou menší nebo rovny H. Z toho plyne, že obor hodnot R(f) je shora omezený. Pokud je funkce f(x) zdola omezená, existuje dolní mez d a všechny funkční hodnoty jsou větší nebo rovny d a obor hodnot R(f) je zdola omezený. Pokud je funkce f(x) omezená, je obor hodnot R(f) omezený zdola i shora. R R R

BRVKA Monotonie funkcí Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f) a interval I je jeho podmnožinou. Funkce f(x) je na intervalu I: Rostoucí Klesající Monotónní po intervalech

BRVKA extrémy funkcí Definice: Mějme funkci f(x), jejíž definiční obor je D(f) a bod a z definičního oboru. Funkce f(x) má v bodě a: Lokální maximum funkce f(x), pokud existuje nějaké okolí U(a), pro které platí: Lokální minimum funkce f(x), pokud existuje nějaké okolí U(a), pro které platí: Globální maximum funkce f(x), pokud Globální minimum funkce f(x), pokud

BRVKA extrémy Funkce má EXTRÉM V BODĚ, tj. nezajímá nás většinou, kolik je funkční hodnota extrému, ale KDE extrém je, ve kterém x. (Nezajímá nás nadmořská výška Sněžky, ale to, že nejvyšší bod ČR je právě Sněžka). Funkce má 1 globální minimum a 1 globální maximum, druhé nemá, bod nepatří do D(f). a b Funkce má pouze 1 globální maximum, jiný extrém nemá. a Funkce má: 1 globální minimum, 1 globální maximum, 1 lokální maximum a 1 lokální minimum. c d a b

BRVKA Sudost, lichost Definice: Funkce f(x) s definičním oborem D(f) je sudá, jestliže s každým x patří do D(f) i –x (číslo opačné) a platí f(x) = f(– x). Graf je osově souměrný podle osy y. Definice: Funkce f(x) s definičním oborem D(f) je lichá, jestliže s každým x patří do D(f) i –x (číslo opačné) a platí f(x) = –f(– x). Graf je středově souměrný podle počátku. Sudá Lichá Sudá Ani sudá ani lichá

BRVKA periodičnost Definice: Funkce f(x) je periodická s periodou t, jestliže f(x + t) = f(x) pro všechny hodnoty x z D(f). Funkce opakuje své hodnoty po určité konečné periodě. Celý graf lze vytvořit pomocí kopírování určité části opakované v pravidelných intervalech. Jestliže je t perioda funkce, pak i každý přirozený násobek je perioda, proto uvažujeme nejmenší periodu.

Parametrický systém funkcí BRVKA Parametrický systém funkcí Grafy některých funkcí se podobají, můžeme z jednoho vytvořit druhý pouze posunutím nebo otočením. Jsou jistá pravidla, kterými se při tom řídíme. 1. Posun po ose y Máme graf funkce f(x), z něj vytvoříme graf f(x) + c posouváním celého grafu ve směru osy y. Zachováváme znaménka … +c nahoru, –c dolů.

BRVKA 2. Posun po ose x Máme graf funkce f(x), z něj vytvoříme graf f(x + a) posouváním celého grafu ve směru osy x. Pozor: Posouváme v „protisměru“ +a vlevo do mínus x, –a vpravo do +x. f(x + 2)

BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.