Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_106 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Posloupnosti Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Vlastnosti posloupností Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část, ale také názorné ukázky na příkladech. Klíčová slova:Posloupnost (ryze) monotónní; Posloupnost (ne)rostoucí; Posloupnost (ne)klesající; Posloupnost konstantní; Posloupnost omezená zdola; Posloupnost omezená shora; Posloupnost omezená; Minimum hodnot; Maximum hodnot Druh učebního materiálu:prezentace

Vlastnosti posloupností Stejně jako u funkcí, můžeme u posloupností určovat monotónnost ryze monotónní posloupnost (rostoucí či klesající posloupnost) monotónní posloupnost, (neklesající či nerostoucí posloupnost) omezenost shora omezená posloupnost, zdola omezená posloupnost, posloupnost omezená.

Monotónnost Nechť je posloupnost reálných čísel, n  N. Jestliže platí a n < a n+1, pak je daná posloupnost rostoucí, a n > a n+1, pak je daná posloupnost klesající, a n  a n+ 1, pak je daná posloupnost neklesající, a n  a n+1, pak je daná posloupnost nerostoucí, a n = a n+1, pak je daná posloupnost konstantní.

1) Posloupnost rostoucí: následující člen je větší než člen předchozí například: n 3 –1 1 0 anan –2 –3 –4 – Každé následující číslo je o jedničku větší: Najdete rekurentní vzorec pro danou posl.?

2) Posloupnost klesající: následující člen je menší než člen předchozí například: n 3 – –2 –3 –4 – anan Jedničku tomu, kdo najde rekurentní vzorec!

3) Posloupnost neklesající: následující člen je větší nebo roven předchozímu například: n anan

4) Posloupnost nerostoucí: následující člen je menší nebo roven předchozímu například: n –2 –4 – anan 8910

5) Posloupnost konstantní: následující člen je roven předchozímu například: n 1 0 anan

Omezenost Nechť je posloupnost reálných čísel. Jestliže existuje m  R, že pro každé n  N platí: a n  m, pak je daná posloupnost zdola omezená. Jestliže existuje M  R, že pro každé n  N platí: a n  M, pak je daná posloupnost shora omezená, Jestliže je posloupnost omezená shora i zdola, pak je daná posloupnost omezená. existuje takové K  R + (kde K je max. z hodnot |m|,| M|), že pro každé n  N platí: |a n |  K, neboli m  a n  M.

každý člen je větší než „nějaká“ jistá hodnota například: 1) Posloupnost zdola omezená: m = a 1 = – 2 n 3 –1 1 0 anan jsme schopni určit minimum ze všech hodnot hodnoty stále narůstají – maximum neexistuje –2

každý člen je menší než „nějaká“ jistá hodnota například: 2) Posloupnost shora omezená: M = a 1 = 7/2 n 5/2 1 3/2 0 anan / jsme schopni určit maximum ze všech hodnot hodnoty stále klesají – minimum neexistuje 7/2 8

všechny členy jsou mezi dvěma „nějakými“ jistými hodnotami například: 3) Posloupnost omezená: n 0 anan m = – 1 M = 1 1 –1 8 maximum ze všech hodnot minimum ze všech hodnot

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 7–20 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 5, s. 127–131