CHYBY MĚŘENÍ

Opakované měření téže fyzikální veličiny nevede vždy k přesně stejným výsledkům. Této skutečnosti bychom se nevyhnuli, i kdybychom měření prováděli s největší důkladností a precisností – naopak, čím citlivější a přesnější jsou použité přístroje, tím spíše k tomuto poznatku dojdeme. Při každém měření fyzikální veličiny vznikají určité odchylky naměřené hodnoty od skutečné hodnoty dané veličiny. Tyto odchylky nazýváme chybami měření. - příčiny chyb jsou velmi různé - někdy je známe, ale často je také nedovedeme vůbec zjistit.

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele ... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné kalibrace měřidel, přesnost metody ... - zatěžují stejným způsobem výsledek každého měření - není-li udána, uvažujeme hodnotu jedné poloviny nejmenšího dílku měřidla 3. náhodné chyby - v důsledku působení náhodných vlivů - nelze je zjistit ani ovlivnit - lze je „odhadnout“ - užíváme matematickou statistiku

Je-li každé měření provedeno se stejnou přesností Náhodné chyby Jednotlivá měření jsou vždy zatížena určitou chybou  nemůžeme z naměřených hodnot určit přesnou hodnotu X měřené veličiny. Eliminace vlivu náhodných chyb na měření: - danou veličinu změříme vícekrát - z naměřených hodnot určíme nejpravděpodobnější hodnotu (hodnotu považovanou za nejbližší skutečné hodnotě) Je-li každé měření provedeno se stejnou přesností (hrubé chyby vylučujeme), lze ukázat, že nejpravděpodobnější hodnotou je aritmetický průměr.

Náhodné chyby Označme: - počet měření dané veličiny - skutečná hodnota měřené veličiny - nejpravděpodobnější hodnota měřené veličiny - naměřená hodnota (i-té měření) - absolutní chyba (i-tého měření) - nejpravděpodobnější chyba (i-tého měření)

Náhodné chyby Potom: Pokud při hledání nejpravděpodobnější hodnoty požadujeme, aby součet nejpravděpodobnějších chyb byl roven 0 dosazením dostáváme - tj. aritmetický průměr

Náhodné chyby  Dosazením do předchozího vztahu dostáváme odtud Protože chyby Xi nabývají se stejnou pravděpodobností kladných i záporných hodnot, blíží se pravá strana pro nekonečný počet měření k nule. Pro nekonečně velký počet měření je tedy skutečná hodnota naměřené veličiny X totožná s aritmetickým průměrem

Náhodné chyby Nejistotu, s jakou přesností aritmetický průměr určuje měřenou veličinu lze odhadnout různými metodami. Průměrná chyba Pravděpodobnost vzniku kladné a záporné odchylky je stejná  při velkém počtu měření je aritmetický průměr chyb ∆Xi roven 0  průměrná chyba se počítá z absolutních hodnot chyb | ∆Xi |.

Zápis výsledku měření: - měřená veličina - výsledek měření (artimetický průměr) - absolutní chyba (odchylka) měření - relativní chyba (odchylka) měření - zavádíme pro porovnání přesnosti měření

Zásady pro zápis výsledku měření: - chybu měření uvádíme na nejvýše dvě platné číslice - ve výsledku zaokrouhlujeme v řádu poslední platné číslice chyby Příklady zápisu výsledku měření: Poznámka: Pokud se chyba měření ve výsledku neudává, předpokládá se, že je menší, než polovina řádu za poslední platnou číslicí výsledku. Např.:

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 2. 107,4 3. 4. 107,5 5. 107,3 Průměr 107,36 Vypočítáme aritmetický průměr z naměřených hodnot. (Považujeme jej za nejpravděpodobnější hodnotu měřené veličiny.)

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Dli – odchylka (chyba) jednotlivého měření Pro každé měření určíme rozdíl Dli mezi naměřenou hodnotou li a aritmetickým průměrem.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Z jednotlivých odchylek vypočítáme průměrnou odchylku Dl jako aritmetický průměr absolutních hodnot odchylek jednotlivých měření.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Pomocí aritmetického průměru a průměrné odchylky určíme horní a dolní mez intervalu, o kterém předpoklá- dáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Měřením nezjišťujeme skutečnou číselnou hodnotu veličiny, ale horní a dolní mez intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Pro porovnání přesnosti měření uvádíme průměrnou re- lativní odchylku. Je určena podílem průměrné odchylky a aritmetického průměru z naměřených hodnot.

Zpracování výsledků měření Pořadové číslo měření 1. 107,2 -0,16 2. 107,4 0,04 3. 4. 107,5 0,14 5. 107,3 -0,06 Průměr 107,36 0,088 Výsledek měření udáváme formou intervalu, o kterém předpokládáme, že obsahuje skutečnou hodnotu měřené veličiny, s průměrnou relativní odchylkou měření.

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem Násobení - veličina X je součinem veličin A, B Nejpravděpodobnější hodnota Relativní chyba Dělení - veličina X je podílem veličin A, B Nejpravděpodobnější hodnota Relativní chyba

Chyby fyzikálních veličin určovaných výpočtem Posloupnost kroků při určování chyb a) Měřená veličina – 1. průměr – 2. absolutní chyba – 3. relativní chyba Relativní chyba b) Počítaná veličina – 1. průměr – 2. relativní chyba – 3. absolutní chyba Absolutní chyba