LINEÁRNÍ OPTIMALIZAČNÍ MODEL

Obsah přednášky Cíl modelu Definice modelu Grafické zobrazení modelu Základní pojmy Základní věty

Cíl lineárního optimalizačního modelu Optimální rozsahy procesů Splnění omezení Maximalizace či minimalizace hodnoty kritéria

Příklad Účetní zpracovává dva typy dokladů – faktury vydané a faktury došlé. Každou fakturu účtuje 4 minuty, na zpracování faktur vydaných a přijatých má nejvýše 120 minut z pracovní doby. Faktura vydaná obsahuje 2 účetní položky a faktura přijatá obsahuje 4 účetní položky, faktury mohou obsahovat maximálně 100 položek. Zisk z jedné zaúčtované vydané faktury činí 8 Kč a zisk z jedné zaúčtované přijaté faktury činí 10 Kč. Kolik faktur vydaných a přijatých musí zpracovat, aby dosáhla největšího zisku a přitom splnila všechny podmínky? Je to prakticky realizovatelné?

Definice modelu Všechny prvky modelu jsou vyjádřeny pomocí lineárních funkcí

Definice modelu proměnné - procesy (jednotky) omezující podmínky kritérium lineární funkce a linerární rovnice a nerovnice

Příklad Proměnné Omezující podmínky Účelová funkce x1 faktury vydané (počet kusů) x2 faktury přijaté (počet kusů) Omezující podmínky 2 x1 + 4 x2 ≤ 100 (počet položek) 4 x1 + 4 x2 ≤ 120 (čas) Účelová funkce Z(x) = 8 x1 + 10 x2  max

Grafické zobrazení modelu Prostor řešení - prostor proměnných Zobrazují se jednotlivé omezující podmínky Kriteriální funkce - směr růstu Konvexní polyedr Polyedrický kužel

Konvexní polyedr f(x)

Polyedrický kužel f(x)

Příklad Prostor řešení a gradient vektor účelové funkce

Grafické zobrazení modelu Prostor požadavků - prostor vektorů koeficientů jednotlivých proměnných transformovaných na jednotkovou cenu Složením vektorů musí být vektor pravých stran

Grafické zobrazení modelu

Příklad Prostor požadavků – požadavkové vektory a vektor b

Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení (vrchol) Optimální řešení Alternativní řešení Suboptimální řešení

Řešitelnost modelu Řešení neexistuje Existuje právě jedno řešení neexistuje řešení omezujících podmínek kriteriální funkce je neomezená v požadovaném směru Existuje právě jedno řešení jediné a bázické Existuje nekonečně mnoho řešení dvě a více bázická optimální (alternativní) řešení

Základní věty Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení. Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení. Řešení úlohy LP leží vždy na hranici množiny přípustných řešení. Má-li úloha LP více než jedno optimální řešení řešení, je optimálním řešením i jejich konvexní kombinace.