Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0208 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_112 Jméno autora: Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník: 3.E/ třetí ročník Datum vytvoření: 2. 2. 2013 1

Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Posloupnosti Předmět: Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Posloupnosti Předmět: Matematika Název učebního materiálu: Aritmetická posloupnost – příklady III. Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje řešené příklady i zadání příkladů pouze s výsledky pro samostatné procvičení. Klíčová slova: Aritmetická posloupnost Druh učebního materiálu: prezentace 2 2

AP – příklady se zamyšlením:

Určete součet prvních sto přirozených čísel, jejichž zbytek po dělení číslem pět je jedna. Sto členů dané AP dává součet 24 850.

? Určete součet všech přirozených dvojciferných čísel. poslední dvojciferné číslo: Součet všech přirozených dvojciferných čísel je 4 905.

Určete součet všech přirozených trojciferných čísel, která končí číslicí 6. ? poslední číslo dané vlastnosti: Čísla daných vlastností dávají součet 49 590.

Určete součet všech přirozených čísel, která jsou dělitelná číslem 7 a přitom jsou větší než 1 000, ale zároveň jsou také menší než 1 500. Čísla daných vlastností dávají součet 89 964.

Určete součet všech trojciferných přirozených čísel, která jsou dělitelná číslem 9. Čísla daných vlastností dávají součet 55 350.

Mezi čísla – 5 a 20 vložte 4 čísla tak, aby s danými čísly tvořila AP. 4 čísla, která hledáme Hledanou čtveřici tvoří čísla:

Hledaných devět čísel tvoří množinu: Mezi kořeny rovnice x2 – 34x + 64 = 0 vložte 9 čísel tak, aby s kořeny rovnice tvořila AP. 9 čísel, která hledáme Hledaných devět čísel tvoří množinu:

Kolik členů AP: a1 = 30, d = –5 musíme sečíst, aby byl součet –17 325. ? Je třeba sečíst prvních 90 členů dané posloupnosti.

? Kolik členů AP: a4 = 16, a8 = 24 musíme sečíst, aby byl součet 90. Je třeba sečíst prvních 6 členů dané posloupnosti.

Strany pravoúhlého trojúhelníka tvoří AP, přičemž delší z odvěsen měří 12 cm. Vypočtěte zbylé strany, obvod a obsah trojúhelníka.

nejkratší = kratší z odvěsen Strany trojúhelníka obvykle značíme: a, b, c, ale protože tvoří AP, přejdeme ke značení: a1, a2, a3. Trojici, která tvoří AP, nejlépe vyjádříme zafixováním prostředního (druhého) členu – viz zadání, protože první pak bude o diferenci menší, poslední (třetí) o diferenci větší. Pro rostoucí AP je diference kladná, proto seřadíme strany nejlépe od nejkratší (kratší z odvěsen) po nejdelší (přepona). Nejprve musíme ovšem určit délky stran, pro které platí Pythagorova věta: nejdelší = přepona nejkratší = kratší z odvěsen Strany trojúhelníka mají délky 9 cm, 12 cm, 15 cm. Obvod trojúhelníka je 36 cm, obsah 54 cm2.

Příklady pro samostatné řešení Aritmetická posloupnost 15

V které AP o deseti členech je součet prostředních dvou členů 55 a součin krajních členů 250? AP1: a1 = 50, d = –5; AP2: a1´ = 5, d´ = 5 Určete AP, v níž 5a2 + 7a5 = 90 a součet prvních tří členů je dvanáct. AP: a1 = 2, d = 2 Určete AP, v níž prvních pět členů dává součet 30 a součet jejich čtverců je 220. AP1: a1 = 2, d = 2; AP2: a1´ = 10, d´ = –2

V pětičlenné AP je součin druhého a čtvrtého členu roven osmi pětinám součinu krajních členů. Součet druhých mocnin všech členů je 220. Určete tuto posloupnost. AP1: a1 = 2, d = 2, AP2: a1´ = –2, d´ = –2 AP3: a1´´ = 10, d´´ = –2, AP4: a1´´´ = –10, d´´´ = 2 V AP 30, 27, 24, ... najděte člen, který se rovná jedné osmině součtu všech předcházejících členů. a6 = 15; a33 = –66

Železné roury jsou srovnány v 10 řadách nad sebou tak, že vrchní řada má 15 trubek a každá další řada o 1 více. Kolik je všech trubek? 195 kusů Teplota Země přibývá o 1 °C na 33 m. Jak velká je teplota v šachtě hluboké 1015 m, je-li v hloubce 25 m stálá teplota +9 °C ? Návod: Teplota tvoří pořadí členů, hloubka šachty jejich hodnotu. +39 °C

Mezi kořeny rovnice x2 + x – 12 = 0 vložte 13 čísel tak, aby s kořeny rovnice tvořila prvních patnáct členů AP. Který člen posloupnosti přirozených čísel se rovná součtu všech předcházejících členů? Návod: Uvědomte si nejprve vše, co znáte o posloupnosti přirozených čísel. a3 = 3

Určete rozměry kvádru, které tvoří tři po sobě jdoucí členy AP a jejichž součet je 18 cm, je-li objem kvádru 120 cm3. 2 cm; 6 cm; 10 cm nebo 10 cm; 6 cm; 2 cm Určete strany obecného trojúhelníka, které se dají vyjádřit třemi po sobě jdoucími přirozenými čísly, je-li obsah trojúhelníka Návod: Pro vyjádření obsahu trojúhelníka použijte Heronův vzorec. 5 cm; 6 cm; 7 cm

Použitá literatura: ODVÁRKO, O. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Posloupnosti a finanční matematika 1. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 8071962392. Kapitola 2, s. 21–30 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 5, s. 131–138