Platónova tělesa

Pravidelné mnohostěny Konvexní mnohostěn Všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky (K-úhelníky) V každém vrcholu se stýká stejný počet hran (L hran)

Jaké pravidelné mnohostěny mohou existovat V … počet vrcholů S … počet stěn H … počet hran Pro každý konvexní mnohostěn platí Eulerova formule V + S = H +2

Existence pravidelných mnohostěnů Dále platí vztahy z podmínek pro pravidelnost mnohostěnu K.S = 2.E S = 2E/K L.V = 2.E V = 2E/L Po dosazení do Eulerovy formule 2E/L + 2E/K = E +2 1/L + 1/K = 1/E + 1/2

Jaká čísla K,L,E vyhoví vztahu 1/K+1/L = 1/E +1/2 K a L jsou celá čísla větší nebo rovna 3 Pro K = 3 L=3, E=6: 1/3+1/3 = 1/6+1/2 L=4, E=12: 1/3+1/4 = 1/12+1/2 L=5, E=30: 1/3+1/5 = 1/30+1/2 Pro L=>6 nelze vyhovět Pro K = 4 L=3, E=12: 1/4+1/3 = 1/12+1/2 Pro L=>4 nelze vyhovět Pro K = 5 L=3, E=30: 1/5+1/3 = 1/30+1/2 Pro K => 6 nelze vyhovět ani pro L=3

Důkaz neexistence více než 5ti pravidelných mnohostěnů Z výše uvedených rovnic vyplývá, že nemohou existovat jiné pravidelné mnohostěny, než následující Ještě není jasné, zda taková tělesa opravdu existují, musíme je zkostruhovat K L Hran Vrcholů Stěn 3 6 4 12 8 5 30 20

Pravidelný 4 stěn Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 4 stěn Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

Pravidelný 8 stěn Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 8 stěn Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 20 stěn Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 20 stěn Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

Pravidelný 6 stěn Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 6 stěn Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

Pravidelný 12 stěn Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Pravidelný 12 stěn Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

Souřadnice vrcholů pravidelný 6 stěn, krychle (±1, ±1, ±1) A(1,1,1) B(-1,1,1) C(-1,-1,1) D(1,-1,1) E(1,1,-1) F(-1,1,-1) G(-1,-1,-1) H(1,-1,-1) Stěny ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, DAEH

Souřadnice vrcholů pravidelný 4 stěn, tetrahedron A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(1,1,1) Stěny ABC, ABD, BCD, ACD

Souřadnice vrcholů pravidelný 8 stěn, octahedron (±1,0,0) (0, ±1, 0) (0,0, ±1) A(1,0,0) B(-1,0,0) C(0,1,0) D(0,-1,0) E(0,0,1) F(0,0,-1) Stěny ACE, AED, ADF, AFC, BCE, BED, BDF, BFC

Souřadnice vrcholů pravidelný 12 stěn, dodecahedron Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“ (±1, ±1, ±1) (0, ±1/Φ, ±Φ) (±1/Φ,±Φ,0) (±Φ,0, ±1/Φ)

Souřadnice vrcholů pravidelný 20 stěn, icosahedron Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“ (±1, ±Φ, 0) (0,±1, ±Φ) (±Φ, 0, ±1)