SZŠ a VOŠZ Zlín® Kabinet MAT předkládá prezentaci Mgr. Vladimír Pančocha předkládá prezentaci

Planimetrie 2 Základní pojmy, trojúhelníky

Planimetrie zahrnuje řadu pojmů:  1.       Rovinné útvary K vysvětlení nutno vždy udělat náčrtek s popisem ! 1.1     Přímka a její části 1.2     Polorovina, úhel, dvojice úhlů http://cs.wikipedia.org/wiki/%C3%9Ahel 1.3     Vzájemná poloha dvou přímek 1.4    Trojúhelník 1.5     Mnohoúhelníky 1.6    Čtyřúhelníky 1.7     Kružnice, kruh a jejich části 1.8    Středový a obvodový úhel http://cs.wikipedia.org/wiki/%C3%9Ahel#.C3.9Ahly_p.C5.99.C3.ADslu.C5.A1n.C3.A9_k_obvodu_kru.C5.BEnice 1.9     Vzájemná poloha přímky a kružnice 1.10    Vzájemná poloha dvou kružnic 1.11   Obvody a obsahy rovinných obrazců 1.12    Euklidovy věty 1.13   Pythagorova věta a věta k ní obrácená  2.  Konstrukční úlohy 2.1  Množiny bodů dané vlastnosti 2.2  Konstrukce na základě výpočtu  3.  Zobrazení v rovině 3.1  Shodná zobrazení 3.2  Osová souměrnost 3.3  Středová souměrnost 3.4   Posunutí 3.5   Otočení 3.6  Stejnolehlost

Trojúhelníky rozdělujeme: a)     podle délky stran - rovnostranné délky všech stran jsou shodné - rovnoramenné – dvě strany (ramena) mají stejnou délku, třetí strana se nazývá základna -  různostranné (obecné) – žádné dvě strany nejsou stejně dlouhé b)     podle velikostí vnitřních úhlů - ostroúhlé – všechny vnitřní úhly jsou ostré - pravoúhlé – mají jeden pravý úhel - tupoúhlé – jeden úhel je tupý

Vlastnosti trojúhelníka: Součet vnitřních úhlů trojúhelníka je přímý úhel Vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech Trojúhelníková nerovnost: a) symbolicky: a + b > c b + c > a a + c > b b) slovně: součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí. Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku, právě když platí |b – c| < a < b + c V trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana.

Pozn.: vše ukaž na náčrtku ! Výška trojúhelníku: je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími body trojúhelníku všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě, tzv. průsečíku výšek, kterému se říká ortocentrum. Pozn.: vše ukaž na náčrtku !

Těžnice trojúhelníku : je úsečka spojující vrchol se středem protější strany trojúhelníku. se protínají v jediném bodě, nazývaném těžiště trojúhelníku. Značíme ho T. vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna dvěma třetinám délky příslušné těžnice. Pozn.: vše ukaž na náčrtku !

Střední příčka trojúhelníku: je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině této strany. v 3-úhelníku jsou právě 3 stř. příčky. Pozn.: vše ukaž na náčrtku !

Kružnice trojúhelníku opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy, a její střed leží v bodě, kde se protínají osy stran trojúhelníku

Kružnice trojúhelníku vepsaná: je kružnice, která se dotýká všech stran, a její střed leží v bodě, kde se protínají osy vnitřních úhlů.

Dva trojúhelníky jsou shodné, pokud je lze přemístit tak, že se kryjí. Shodnost 3-úhelníků: Věta sss: dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve všech třech stranách Věta usu: dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně,. Věta sus: dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se dvou stranách a úhlu, který svírají Věta Ssu: dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich. Dva trojúhelníky jsou shodné, pokud je lze přemístit tak, že se kryjí.

Podobnost 3-úhelníků: Trojúhelník A´B´C´ je podobný trojúhelníku ABC, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro jejich strany platí |A´B´| = k . |AB|, |B´C´| = k . |BC|, |C´A´| = k . |CA| neboli c´ = k . c,   a´ = k . a,   b´ = k . b Číslo k se nazývá koeficient podobnosti trojúhelníků. Je-li k > 1, nazývá se podobnost zvětšení, k < 1, jde o zmenšení k = 1, jsou oba trojúhelníky shodné.

Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech Věta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v poměru délek stran ležících na jeho ramenech. Věta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže poměry délek sobě příslušných stran  se sobě rovnají.

Zapiš si do sešitu:

1) Planimetrie je … 2) Mezi základní rovinné geometrické útvary patří: 3) Zakladatelem je Euklidos, žil přibližně v době, …, jeho dílo zahrnuje … 4) Trojúhelníky - (přidej náčrtek): Druhy trojúhelníků: Vlastnosti úhlů a stran trojúhelníků Výška, těžnice, těžiště, střední příčka – popiš a načrtni konstrukci Kružnice trojúhelníku vepsaná a opsaná – popiš a načrtni konstrukci Věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků