Sada IV/2-3-2 Matematika pro II. ročník gymnázia Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.   Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Zpracováno 26. 11. 2013, autor: Mgr. Jindřiška Janečková Sada IV/2-3-2 Matematika pro II. ročník gymnázia Planimetrie IV/2-3-2-05 Trojúhelník

Trojúhelník A B C

Trojúhelník A B C Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; body A, B, C jsou různé a neleží v jedné přímce.

Trojúhelník A B C Jak se dá jinak definovat trojúhelník?

Trojúhelník A B C Definujte pomocí průniku konvexních úhlů, úhly vyjádřete pomocí bodů A, B, C.

Trojúhelník ABC ∆ABC A, B, C…vrcholy trojúhelníka úsečky AB,BC,AC…strany trojúhelníka X…vnitřní bod trojúhelníka Y…vnější bod trojúhelníka X b X a X A c B ∆ABC

Trojúhelník ABC - úhly C α, β, γ…vnitřní úhly trojúhelníka β α A γ B

Trojúhelník ABC - úhly α´, β´, γ´…vnější úhly trojúhelníka C γ´ γ α´ α

Trojúhelníky podle délek stran Různostranné Rovnoramenné Rovnostranné

Trojúhelníky podle délek stran B C Různostranné: žádné dvě strany nejsou shodné

Trojúhelníky podle délek stran B C c a b α β γ Rovnoramenné: dvě strany (ramena) jsou shodné IACI = IBCI a = b c…základna α = β

Trojúhelníky podle délek stran Rovnoramenné: dvě strany (ramena) jsou shodné IACI = IBCI a = b c…základna α = β A B C γ b a α β c o

Trojúhelníky podle délek stran B C Rovnostranné: mají všechny strany shodné

Trojúhelníky podle délek stran B C Rovnostranné: mají všechny strany shodné

Trojúhelníky podle velikosti vnitřních úhlů Ostroúhlé Tupoúhlé Pravoúhlé

Součet vnitřních úhlů trojúhelníka B C α β γ Součet vnitřních úhlů trojúhelníka je úhel přímý.

Vztah mezi vnějšími a vnitřními úhly trojúhelníku B C α=60° β=50° γ=70° α´ α´=120° β´=130° β´ γ´=110° γ´ ?

Vztah mezi vnějšími a vnitřními úhly trojúhelníku B C α β γ α´ β´ γ´ α´ = β + γ β´ = α + γ γ´= α + β

Trojúhelníková nerovnost Součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí. A B C a b c IABI < IBCI + IACI IBCI < IABI + IACI IACI < IABI + IBCI

Trojúhelníková nerovnost a < b + c b < a + c c < a + b A B C a b c

Trojúhelník Proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel. B C a b c α β γ Proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel. Proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strana.

Trojúhelník Proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly. A B C c a α γ α A B C a

Střední příčka trojúhelníku B A C Střední příčka trojúhelníku je úsečka, spojující středy dvou stran trojúhelníku.

Střední příčka trojúhelníku B A C

Výška trojúhelníku B A C P v Výška trojúhelníku je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku.

Výšky trojúhelníku B A C O va vb vc Ortocentrum – průsečík výšek.

Těžnice trojúhelníku B A C Těžnice je úsečka, spojující vrchol trojúhelníku se středem jeho protější strany.

Těžnice trojúhelníku IATI = ta Těžiště – průsečík těžnic. T B A C tc

Kružnice opsaná trojúhelníku B A C o k Střed – průsečík os stran.

Kružnice vepsaná trojúhelníku B A C ρ Střed – průsečík os úhlů.

Kružnice připsaná trojúhelníku 1 S B A C k Střed – průsečík osy vnitřního úhlu a os zbývajících dvou sousedních vnějších úhlů.

Použitá literatura Použité obrázky POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: planimetrie. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 206 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6174-4. Použité obrázky http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=3 http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=22