Mgr. Martin Krajíc 15.3.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Název projektu: Moderní škola Operace s vektory 4 Mgr. Martin Krajíc   15.3.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Operace s vektory - součin rozlišujeme tři druhy součinu dvou vektorů: skalární součin vektorový součin smíšený součin

Operace s vektory – vektorový součin !! výsledkem vektorového součinu dvou vektorů je vektor !! označujeme u x v na rozdíl od skalárního součinu je vektorový součin definován jen pro vektory v prostoru

Operace s vektory – vektorový součin Definice: Vektorový součin dvou vektorů u, v ležících na jedné přímce je nulový vektor w, neboli w = (0, 0, 0). Vektorový součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, pro který platí: w je kolmý k vektorům u, v (u, v, w) je pravotočivá báze pro velikost vektoru w platí: ׀w׀ = ׀u׀. ׀v׀. sin ( je úhel vektorů u, v) Poznámka: vektorový součin závisí na pořadí vektorů

Operace s vektory – vektorový součin vektorový součin vektorů u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) vypočteme: u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) Př: Vypočtěte vektorový součin vektorů u, v, jestliže u = (2, -3, 5), v = (1, -4, -1): u x v = ((-3).(-1) – 5.(-4), 5.1 – 2.(-1), 2.(-4) – (-3).1) u x v = (23, 7, -5)

Operace s vektory – vektorový součin Př: Dány vektory w = (3, -4, -5) a v = (3, 1, 1). Určete chybějící souřadnice vektoru u = (1, u2,u3), aby w = u x v. platí: w = u x v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) po dosazení: (3, -4, -5) = (u2.1 - u3.1, u3.3 – 1.1, 1.1 - u2.3) rovnají se odpovídající souřadnice: 3 = u2 – u3 -4 = 3u3 – 1 -5 = 1 - 3u2 z druhé rovnice dostaneme u3 = -1, z třetí rovnice u2 = 2 ověříme dosazením do první rovnice: 3 = 3 vektor u má souřadnice: u = (1, 2, -1)

Operace s vektory – vektorový součin Mnemotechnická pomůcka na výpočet vektorového součinu: souřadnice vektorů napíšeme pod sebe: u = (u1, u2, u3) v = (v1, v2, v3) při výpočtu první souřadnice zakryjeme první souřadnice obou vektorů, zbylá čísla vynásobíme křížem a součiny od sebe odečteme, dostaneme u2v3 - u3v2. při výpočtu druhé souřadnice zakryjeme druhé křížem a součiny od sebe odečteme, dostaneme u1v3 – u3v1. !! Výsledek druhé souřadnice musíme vynásobit číslem -1 !! u2 u3 v2 v3 u1 u3 v1 v3

Operace s vektory – vektorový součin u1 u2 v1 v2 při výpočtu třetí souřadnice zakryjeme třetí souřadnice obou vektorů, zbylá čísla vynásobíme křížem a součiny od sebe odečteme, dostaneme u1v2 - u2v1.

Operace s vektory – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Marcus Tullius Cicero: „…….je nejlepší učitelka“. Př: Vypočtěte vektorové součiny vektorů u, v: u = (3,-4,-5), v = (3,1,1) a) P = (1,-18,15) b) L = (-1,18,15) u = (1,0,1), v = (0,1,1) a) Á = (1,1,1) b) R = (-1,-1,1) u = (2,-2,1), v = (-3,-1,4) a) A = (-7,-11,-8) b) S= (1,11,8) u = (-5,-8,0), v = (-2,3,1) a) X = (-8,5,-31) b) K = (-8,15,8) u = (0,0,1), v = (1,0,0) a) A = (0,0,0) b) E = (0,1,0)

Operace s vektory – správné řešení Marcus Tullius Cicero: „……..…… je nejlepší učitelka“. PRAXE

Operace s vektory – použitá literatura KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-03-15].