Teorie firmy II - Optimum výrobce - Mezní produkt, zákon klesajícího mezního produktu - Izokvanty produkční funkce - Další modely výrobce 12.11.2009

Produkční funkce: technologická změna f1  f2 : navýšení výrobní kapacity (budov, strojů ..) spojené s navýšením fixních nákladů 12.11.2009 2 2

Produkční funkce: dlouhodobá produkční funkce Lf(x) Lf (x): horní obalová křivka možných produkčních funkcí 12.11.2009 3 3

Optimum výrobce maximalizujícího zisk 1. pro technologii umožňující tvorbu zisku (při daných cenách) V optimu : směrnice w/p izokvanty zisku = směrnice tečny k produkční funkci 12.11.2009 4 4

Optimum výrobce maximalizujícího zisk 2. pro technologii neumožňující tvorbu zisku (při daných cenách) Optimální je v tomto případě nevyrábět (výrobní situace OY) 12.11.2009 5 5

Optimum výrobce maximalizujícího zisk 3. případ lineární technologie y =min (a.x, b) Je-li w/p >a,je optimální bod E1. Je-li w/p < a, je optimem bod E2. Je-li w/p = a, jsou výrobní situace na úsečce E1, E2 indiferentní a optimální 12.11.2009 6 6

Optimum výrobce maximalizujícího zisk 4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) : a)optimální je technologie f1 (žádná změna) 12.11.2009 7 7

Optimum výrobce maximalizujícího zisk 4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) : b)optimální je inovovaná technologie f3 12.11.2009 8 8

algebraicky: pro malé  přesněji: (derivace f(x)) Mezní produkt (MP) ekonomicky: nárůst produkceschopnosti odpovídající zvýšení vstupu o (malou) jednotku algebraicky: pro malé  přesněji: (derivace f(x)) Geometricky: směrnice tečny k produkční funkci, tj. tg () 12.11.2009

Zákon klesajícího mezního produktu vstup x 1 2 3 4 5 6 výstup f(x) 14 20 23 24 MP 8 Zákon klesajícího mezního produktu: dodatečný produkt z dodatečné jednotky (každého) zdroje při růstu jeho objemu klesá. Zákon klesajících mezních výnosů z rozsahu: dodatečné výnosy vyvolané proporcionálním růstem všech vstupů o 1% s rostoucím rozsahem výroby klesají. U mnoha technologií platí při nízkém rozsahu výroby opačné zákony (rostoucí výnosy). Ale: vždy od nějakého rozsahu výroby výše mezní produkt a mezní výnosy z rozsahu klesají. 12.11.2009 10 10

Celkový, mezní a průměrný produkt 12.11.2009 11 11

Základní vlastnost optimální výrobní situace výrobce maximalizujícího zisk Je-li xE > 0, platí v optimu: w/p = MP p . MP = w 12.11.2009 12 12

Produkční funkce: y = f(x1, x2) y - objem výstupu x1, x2 - objemy vstupů p - cena výstupu w1, w2 - ceny vstupů Zisk  = p.y - w1.x1 - w2.x2 Výnosy (příjem): R = p.y Náklady : C = w1.x1 + w2.x2 Izokvanta produkční fce f(x1, x2) = konst.: množina kombinací vstupů se shodnou produkceschopností Izokosta: w1.x1 + w2.x2 = konst.: množina stejně nákladných kombinací vstupů 12.11.2009

Izokvanty nákladů (izokosty) - pro případ dvou vstupů: xj - objem j-tého vstupu, wj - cena j- tého vstupu, C - náklady 12.11.2009 14 14

Křivky stejného produktu (izokvanty) produkční funkce (případ dvou vstupů) xj - objem j-tého vstupu y(j) – objem výstupu pro j – tou izokvantu y(3) > y(2) > y(1)   12.11.2009 15 15

Optimum (případ dvou vstupů) V optimu : směrnice izokosty = směrnice tečny k izokvantě produkční funkce: w1/ MP1= w2 /MP2 = p  v optimu: p . MPj = wj pro každé j. 12.11.2009 16 16

Optimum (případ dvou vstupů) Pozn.: Podle věty o derivaci implicitně zadané funkce y=f(x1,x2) je její sklon dán podílem parciálních derivací Ekonomicky: Peněžní hodnota výnosu z mezního produktu každého zdroje je rovna jeho ceně (není-li, je výhodné zdroj nakupovat více resp. méně) mezní produkt / peněžní jednotky vydané na j-tý zdroj je pro všechna j shodný (není-li, je výhodné nakupovat více alespoň jeden zdroj na úkor jiného zdroje) 12.11.2009 17 17

Izokvanty leontjefské produkční funkce (případ dvou vstupů) - vstupy je nutné zvyšovat proporcionálně   f(x1,x2) = min (a.x1, b.x2) xj - objem j-tého vstupu a/b - pevně daný poměr vstupů y(k) - objem výstupu pro j-tou izokvantu, y(3) > y(2) > y(1) 12.11.2009 18 18

Optimum výrobce s leontjefskou produkční funkcí (případ dvou vstupů) V optimu: vždy splněn „předepsaný“ poměr vstupů x2 : x1 = b : a 12.11.2009 19 19

xj - objem j-tého vstupu Izokvanty lineární produkční funkce : dokonalá substituovatelnost vstupů (případ dvou vstupů) f(x1,x2) = a.x1 + b.x2 xj - objem j-tého vstupu y(k) - objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3)> y(2)>y(1) 12.11.2009 20 20

Optimum výrobce s lineární produkční funkce : V optimu (není-li náhodou sklon izokvanty produkční funkce shodný se sklonem izokost) je využíván výhradně efektivnější vstup 12.11.2009 21 21

Izokvanty Cobbovy-Douglasovy produkční funkce (případ dvou vstupů) xj - objem j-tého vstupu y(k) - objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3) > y(2) > y(1) 12.11.2009 22 22

Izokvanty produkční funkce pro: 12.11.2009

Poznámky Rozlišovat následující dvě bodové vlastnosti produkční funkce: a) Mezní míra (technologické) substituce: sklon tečny k izokvantě = - MP1 / MP2 b) Elasticita (technologické) substituce: CES funkce : třída funkcí s konstantní elasticitou substituce ve všech bodech 12.11.2009

Maximalizace zisku a minimalizace nákladů není totéž !! Otázka je subjekt maximalizující zisk totožný se subjektem minimalizujícím náklady? Maximalizace zisku a minimalizace nákladů není totéž !! Platí tzv. reciprokost minimalizace nákladů a maximalizace zisku (nejde o dualitu!!). Když předepíšeme výrobci, který minimalizuje náklady, aby vyráběl objem výstupu odpovídající optimu výrobce maximalizujícho zisk, protom jsou obě řešení stejná. 12.11.2009 25 25

Reciproké úlohy optima pro případ s jedním výstupem a n vstupy Maximalizace zisku : optimální řešení : výrobní situace   Minimalizace nákladů : optimální řešení :výrobní situace Věta o reciprocitě : je -li y** = y*, jsou optimální řešení obou úloh stejná : 12.11.2009 26 26