MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika I. Momenty setrvačnosti a deviační momenty fyzikálních objektů hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty desek hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty těles II. Momenty setrvačnosti a deviační momenty geometrických útvarů momenty setrvačnosti a deviační momenty ploch momenty setrvačnosti a deviační momenty objemů Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Obecná definice momentu setrvačnosti: Hmotný moment setrvačnosti dm - element hmotnosti fyzikálního objektu Moment setrvačnosti objemu dV - element objemu fyzikálního objektu Moment setrvačnosti plochy dA - element plochy fyzikálního objektu Když r - vzdálenost od bodu  polární moment setrvačnosti r - vzdálenost od osy  axiální moment setrvačnosti r - vzdálenost od roviny  planární moment setrvačnosti Přednáška 7.

MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY ROVINNÝCH OBRAZCŮ FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY ROVINNÝCH OBRAZCŮ Souřadnicová soustava průřezu prutu Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Rovinný obrazec (průřez prutu) v souřadnicové soustavě yz P≡O Axiální momenty setrvačnosti k ose y a z jsou definovány vztahy: Deviační moment je definován vztahem Polární moment setrvačnosti je definován vztahem: Centrální moment setrvačnosti je moment setrvačnosti k libovolné ose, která prochází těžištěm. Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Věty: Axiální momenty setrvačnosti a polární moment setrvačnosti nabývají vždy kladné hodnoty. (Tato věta vychází z definice – druhá mocnina vzdálenosti je kladná a obsah je také kladná hodnota.) Deviační moment může nabýt kladné nebo záporné hodnoty. (Opět věta vychází z definice, součin dvou souřadnic závisí na jejich znaménkách.) Deviační moment k osám, z nichž alespoň jedna je osou symetrie, se rovná nule. (Opět věta vychází z definice.) Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika x y dA b/2 h/2 Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika x protože Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika STEINEROVA VĚTA Pomocí Steinerovy věty lze určit momenty setrvačnosti a deviační moment k mimotěžišťovým osám, které jsou s osami těžišťovými rovnoběžné. Potřebujeme znát: plochu obrazce, polohu těžiště, velikosti momentů setrvačnosti a deviační moment, vzdálenosti k mimotěžišťovým osám. P≡O Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné mimotěžišťové ose Deviační moment k libovolným dvěma mimotěžišťovým osám y,z Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Důkaz Steinerovy věty: P≡O kde je statický moment k těžišťové ose Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Příklad y T [2r,r] yT r T xT x Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika AXIÁLNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENT K POOTOČENÝM SOUŘADNICOVÝM OSÁM y z a P≡O dA Vyjádříme transformační vzorce pro souřadnice a Podle definice vyjádříme moment setrvačnosti k pootočené ose a dosadíme transformační vzorce. Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Podobně Deviační moment Přednáška 7.

HLAVNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika HLAVNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI Při rotaci souřadnicových os, existuje taková jejich poloha, při kterých nabývají axiální momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot, tzn., že jeden moment setrvačnosti je maximální a druhý minimální, a deviační moment je nulový. Důkaz: Vyšetříme nulovou první derivaci momentu setrvačnosti v natočených souřadnicích obdobně Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Extrémních hodnot dosahují momenty setrvačnosti pro úhel , při kterém je pak deviační moment k osám , roven nule a vypočítá se z rovnice: potom Osy , jejichž poloha je určena úhly a nazýváme hlavní osy setrvačnosti. Potom platí pro ně platí: a hlavní momenty setrvačnosti jsou Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Po vyloučení úhlu lze napsat též pro určení hlavních momentů setrvačnosti vztah Platí opět invariantní vztah: Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Věta o hlavních osách setrvačnosti Hlavní osa setrvačnosti, ke které je moment setrvačnosti maximální, prochází 2. a 4. kvadrantem souřadnicové soustavy tehdy, je-li deviační moment . Je-li deviační moment , prochází hlavní osa, ke které je moment setrvačnosti maximální 1. a 3. kvadrantem. Těžišťové osy, ke kterým je deviační moment roven nule, nazýváme hlavními centrálními osami setrvačnosti. Je-li jedna z os osou symetrie, je tato osa přímo hlavní centrální osou setrvačnosti a na ní leží také těžiště. Známe-li hlavní osy setrvačnosti a příslušné hlavní momenty setrvačnosti, platí pro libovolnou osu natočenou o úhel g od hlavní osy y0 (resp. x0 pro souřadnicový systém xy) Přednáška 7.

MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY SLOŽENÝCH OBRAZCŮ FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY SLOŽENÝCH OBRAZCŮ 1. Moment setrvačnosti složeného rovinného obrazce k osám y, z určíme jako součet axiálních momentů setrvačnosti jednotlivých základních obrazců k osám y, z. 2. Obdobně deviační moment. 3. Použitím tabulek nebo vzorců stanovíme známé momenty setrvačnosti pro jednotlivé základní obrazce a pomocí Steinerovy věty vypočítáme momenty setrvačnosti a deviační moment k osám y a z. Přednáška 7.

FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Příklady použití q l Průhyb nosníku P l Kritické břemeno při vzpěrném tlaku Přednáška 7.