Mnohočleny a algebraické výrazy Početní výkony s mnohočleny Rozklad mnohočlenu na součin Doplnění kvadratického trojčlenu
Definice Nechť n je N nebo 0, a0, a1, a2, ...an reálná čísla, x proměnná; pak součet anxn + an-1 xn-1 + ....+ a1x + a0, kde an 0 se nazývá mnohočlen (polynom) n – tého stupně. Každý sčítanec se nazývá člen mnohočlenu, ak se nazývá koeficient.
Příklad mnohočlenu Př. 1: Mnohočlen (čtyřčlen) 3.stupně Př. 2: Součet má čtyři sčítance Nejvyšší mocnina u proměnné x je 3 Př. 2: Mnohočlen (dvojčlen) 5. stupně Součet má dva sčítance Nejvyšší mocnina u proměnné n je 5
Početní operace s mnohočleny Součet Rozdíl Součin Podíl Umocnění
Je – li před závorkou mínus, mění se znaménka v závorce v opačná. Součet a rozdíl Sčítají se nebo odečítají pouze členy se stejnými neznámými. Př: (7a + 5b) – (4a – 3b) = 7a + 5b – 4a + 3b = = (7 – 4)a + (5 + 3)b = 3a + 8b Je – li před závorkou mínus, mění se znaménka v závorce v opačná.
Násobení = 4x.3 + 4x.(-2x) + 5.3 + 5.(-2x) = Násobit mnohočlen mnohočlenem znamená násobit každý člen 1. mnohočlenu každým členem 2. mnohočlenu. Př.: (4x + 5).(3 – 2x) = = 4x.3 + 4x.(-2x) + 5.3 + 5.(-2x) = = 12x – 8x2 + 15 – 10x = – 8x2 + 2x + 15
Dělení Dělit mnohočlen mnohočlenem znamená dělit každý člen 1. mnohočlenu každým členem 2. mnohočlenu. Př.:(2x3-5x2-13x+4):(x-4)= -2x3+8x2 0+3x2-13x -3x2+12x 0+-x+4 x-4 2x2 -3x -1
Rozklad mnohočlenu na součin Vzorce:
Rozklad mnohočlenu na součin Př. 1: Vzorec 16a2 + 24a + 9 = (4a+3)2 49 – 9b2 = (7 – 3b)(7 + 3b) 16x4 – 1= (4x2 + 1)(4x2 – 1 ) = (4x2 + 1)(2x + 1)(2x-1) a2 +2ab +b2 a2 - b2
Rozklad mnohočlenu na součin Př 2: Rozklad kvadratického trojčlenu (jestliže nelze použít úpravu podle vzorce. x2 + 4x + 3 = = (x + 3)(x + 4) 3 = a.b 4 = a + b = (x + a)(x + b) =
Rozklad mnohočlenu na součin Př. 3:Vytýkání x5 + x3 – x2 – 1= = (x2 + 1)(x3 -1) = (x2 + 1)(x -1)(x2 + x + 1) x3.(x2 + 1) -1(x2 + 1) = x3 -1
Doplnění kvadratického trojčlenu Využití u rovnice paraboly, hyperboly, u grafu kvadratické funkce, ... ax2 + bx + c = a(x + d)2 + e
Doplnění kvadratického trojčlenu Př. 1: x2 + 5x + 7 = x2 + 2.5/2.x +(5/2)2 - (5/2)2 + 7 = a2 + 2ab a2 + 2ab +b2 Aby se hodnota výrazu nezměnila, musíme přičíst i odečíst stejnou hodnotu
Doplnění kvadratického trojčlenu Př. 2: 2x2 + 4x - 1 = 2(x2 + 2x) - 1 = = 2(x2 + 2x + 1 – 1) - 1 = 2(x2 + 2x + 1) – 1.2 - 1 = 2(x + 1)2 – 3 Př. 3: - x2 + 8x - 5 = -(x2 -8x) - 5 = = -(x2 - 8x + 16 – 16) - 5 = = -(x – 4)2 + 16 – 5 = = -(x – 4)2 + 11