Téma 1 Základní rovnice teorie pružnosti Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011 Téma 1 Základní rovnice teorie pružnosti Základní informace o výuce a hodnocení předmětu PP II Úvodní poznámky a základní předpoklady Napětí a deformace Analýza napjatosti a deformace v okolí bodu tělesa Rovnice rovnováhy Geometrické rovnice Fyzikální rovnice Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Základní informace Předmět: 228-0211/01 - Pružnost a plasticita II Přednášející: Doc. Ing. Petr Janas, CSc. Spojení: tel: 59 732 1308 e-mail: petr.janas@vsb.cz Přednášky a informace: http://fast10.vsb.cz/janas

Osnova přednášek 1. Základní rovnice teorie pružnosti. 2. Rovinný problém, stěnová rovnice. 3. Metody řešení stěn. 4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté desky. 5. Desky, metody řešení desek. 6. Kruhové desky. 7. Skořepiny. 8. Modely podloží, pružný poloprostor. 9. Stabilita prutových konstrukcí, Eulerovo řešení. 10.Nelineární chování materiálů, podmínky plasticity. 11.Rámy s plastickými klouby.

Osnova cvičení 1. Úvodní cvičení, transformace složek napětí 2. Řešení stěn pomocí Airyho funkce 3. Řešení stěn pravoúhlých metodou sítí, zadání 1. programu 4. Řešení pravoúhlých stěn metodou sítí, 1. písemka transformace napětí 5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu 6. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí 7. Řešení kruhových a mezikruhových desek 8. Skořepinové konstrukce, membránový stav 9. Nosník na pružném podkladě, numerické řešení 2. písemka, kruhové a mezikruhové desky 10. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení 11. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení 12. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí 13. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí, 3. písemka, mezní únosnost nosníků 14. Zápočet

Literatura Další doporučená literatura: [1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004. [2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. [3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993. Další doporučená literatura: [4] Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999. [5] Bittnar, Z., Šejnoha, J. Numerické metody mechaniky, ČVUT, Praha, 1992 [6] Novák, O. a kol Technický průvodce 3. Nauka o pružnosti a pevnosti ve stavitelství, SNTL, Praha, 1963

Hodnocení zápočtu Předpoklady pro získání zápočtu: Uznaný zápočet z předmětu SSKI 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně omluvená Zvládnutí 3 písemných prací Zvládnutí 2 programů Získání minimálně 18 bodů z 35 možných Bodování na cvičení: 3 písemky - 7 až 4 bodů - první opravná - 6 až 4 body - další opravné – max. 4 body 2 programy včas a správně 7 bodů, včas a chybně po první správné opravě 5 bodů, po druhé správné opravě 4 body, po další správné opravě 3 body pozdě a správně 5 bodů, po první správní opravě 4 body, po další správné opravě 3 body

Hodnocení zkoušky Předpoklad zápisu ke zkoušce - úspěšné absolvování zkoušky z SSK I - získání zápočtu z PP II Podmínka úspěšného absolvování zkoušky - Úspěšné vykonání ústní i písemné části zkoušky Písemná část 0 až 35 bodů Podmínkou pro postup k ústní zkoušce je min. 18 bodů z písemné části zkoušky Ústní část 0 – 30 bodů, pro vykonání min. 15 Známky: 86 – 100 bodů 1 66 – 85 bodů 2 51 – 65 bodů 3

Základní předpoklady teorie pružnosti Látka tělesa je homogenní, může být přitom a) izotropní b) anizotropní dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat) deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé – geometricky lineární teorie pružnosti počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly.

Lineární pružnost Pokud formuluje podmínky rovnováhy na: nedeformovaném tělese (důsledek předpokladu malých deformací a jejich zanedbatelný vliv na tyto podmínky) hovoříme o teorii prvního řádu, deformovaném tělese (důsledek nezanedbatelného vlivu předpokladu i malých deformací) hovoříme o teorii druhého řádu. (nejedná se již o lineární pružnost) Předpoklad malých deformací a lineární závislosti mezi napětím a přetvořením (geometrická a fyzikální linearita) umožňuje využít princip superpozice

Princip superpozice Výsledný stav, tj. výsledné zatížení a reakce, vnitřní síly, napětí, přemístění (deformace) je součtem jednotlivých zatěžovacích stavů. Nezáleží na pořadí v jakém jednotlivé zatěžovací stavy na těleso či konstrukci působí.

Klasifikace nosných konstrukcí Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry. Mohou mít proměnlivou délku, průřez, přímé i zakřivené. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Patří mezi ně desky, stěny s rovinnou střednicovou plochou a skořepiny se zakřivenou střednicovou plochou. Těleso je konstrukční prvek, jehož rozměry jsou srovnatelné.

Vnější síly a vnitřní síly objemové (působí v elementech objemu), patří k nim: vlastní tíha, odstředivé síly atd. povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako: spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly). Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné. Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.

Vnitřní síly Prutové prvky: o složkách vnitřních sil předpokládáme, že působí v těžišti. Jsou výslednicí elementárních sil (napětí) působících v určitém řezu a směru. Touto problematikou jste se zabývali v předmětu PP. Při jejich určení se vycházelo ze znalostí složek vnitřních sil Plošné prvky a tělesa: je nutno se zabývat rozložením elementárních sil

Napětí Poměr elementární síly a velikosti plošky je poměrné napětí na této plošce: Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku Zmenšujeme-li velikost plošky A k nule, dostaneme napětí pn v bodě: Základní jednotkou napětí je Pa [N/m2]

Napětí, pokračování sn je normálové napětí, působí ve směru normály n Při rozložení síly dFn do směru normály n a stopy v plošky dA je: Platí přitom: sn je normálové napětí, působí ve směru normály n tnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn

Napětí, pokračování Smykové napětí tnv lze na plošce dA rozložit do směrů os t a s: Opět platí: Bodem tělesa můžeme proložit libovolný počet řezů. Každé plošce odpovídá jiný vektor napětí pn. Množina vektorů napětí pn, odpovídající všem orientovaným ploškám v daném bodě, charakterizuje napěťový stav v tomto bodě.

Deformace Pojem deformace Hledisko fyzikální: deformace pružné a nepružné Hledisko geometrické: posunutí a pootočení Změna délky: Poměrná délková změna: Změna úhlů, pootočení:

Deformace, pokračování Změna objemu: Poměrná objemová změna: Původní objem: Změněný objem: Poměrná objemová změna: Pro malé deformace jsou poměrné deformace řádově menší k jedničce a lze psát:

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa Vektor pn je vždy vázán na orientovanou plošku určenou normálou n. Má tři složky: sn tns tnt Vektorový zápis pn: e1, e2, e3 jsou jednotkové vektory ve směrech n, s, t Pro určení napětí v daném bodě M v libovolné plošce musíme znát tři složky napětí ve třech vzájemně kolmých ploškách např. s normálami n, s, t. Složek napětí v bodě je tedy 9.

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, pokračování Zápis 9 složek napětí v maticovém tvaru se nazývá tenzor napětí: Označování indexů: U normálových napětí se zpravidla užívá jeden index, má směr normály k příslušné plošce a současně směr napětí. U smykových napětí má první index směr normály k příslušné plošce, druhý index směr smykového napětí.

Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, vzájemnost smykových napětí Z momentové podmínky k ose x procházející těžištěm elementu vyplývá: Vzájemnost smykových napětí protínajících se v jednom bodě na ortogonálních ploškách Vzhledem k těmto rovnostem lze napětí v bodě charakterizovat také vektorem napětí:

Transformace složek tenzoru napětí Známe-li napětí v bodě, tj. ve třech vzájemně ortogonálních ploškách dAx,dAy, dAz můžeme určit napětí na libovolně orientované plošce dA. Orientace této plošky je dána normálou n. Transformační vztahy vyplývají z rovnováhy sil působících na čtyřstěnu ON1N2N3. nx, ny,nz jsou směrové kosiny úhlů, které svírá normála n s osami x, y, z.

Transformace složek tenzoru napětí Podmínka rovnováhy sil na čtyřstěnu: Platí: V maticovém tvaru lze zapsat: je transponovaná matice tenzoru napětí,

Transformace složek tenzoru napětí, rozpis maticového zápisu Platí-li: lze také zapsat: je transponovaná matice

Transformace složek tenzoru napětí, pokračování Normálová složka sn vektoru pn je dána součtem průmětů složek pnx , pny a pnz do směru normály n Směr výsledného smykového napětí tnt je dán přímkou t, která je průsečnicí roviny plošky dA s rovinou danou normálou n a vektorem pn.

Transformace složek tenzoru napětí, pokračování Na obr. je osa x1 pootočeného souřadného systému x1, y1, z1 totožná s normálou n. Složky smykového napětí tnt=tx1t , do směru m=y1 a do směru s=z1 jsou: Po dosazení za pnx, pny, pnz je:

Transformace složek tenzoru napětí Níže uvedené rovnice umožňují získat tři složky tenzoru napětí na plošce s normálou n=x1 v souřadnicovém systému x1, y1, z1. Obdobně lze získat složky tenzoru napětí na ploškách s normálami y1=m, z1=s.

Transformace složek tenzoru napětí, maticový zápis Transformaci devíti složek napětí ze souřadnicového systému x, y, z do souřadnicového systému x1, y1, z1, lze maticově zapsat: Maticový zápis lze zkráceně symbolicky zapsat: jsou matice tenzoru napětí v souřadném systému x1, y1, z1 a x, y, z . [L], [L]T jsou matice pootočení a transponovaná matice pootočení

Rovinný stav napjatosti tělesa Je-li v libovolném bodě tělesa ploška, ve které jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o rovinné napjatosti. Nenulové složky napětí jsou pak s touto ploškou rovnoběžné. Na obr. jsou nulová napětí v rovině s normálou y, tj. v rovině xz. Složky napětí sx,sz,txz,tzx jsou s touto rovinou rovnoběžné. Maticově lze tenzor napjatosti vyjádřit: S rovinnou napjatosti se setkáváme např. u stěn nebo u nosníků. Napětí při rovinné napjatosti lze vyjádřit také vektorově:

Přímkový stav napjatosti tělesa Můžeme-li libovolným bodem tělesa proložit svazek rovin, ve kterých jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o přímkové napjatosti. Jediná nenulové složka napětí je v přímce, ve které se svazek rovin protíná. Je-li touto přímkou osa x, lze maticově tenzor napjatosti vyjádřit: Svazek rovin, ve kterých nepůsobí napětí Společná přímka svazku rovin Vektorově lze napsat: S přímkovou napjatostí se setkáváme např. u lan nebo u táhel.

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti Při transformaci je důležité si uvědomit orientaci úhlu a (od osy x k ose x1 pravotočivě). Vyjdeme-li z rovnice: , pak je nutno vyjádřit matici [L]. Platí:

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti Vyjdeme-li z rovnice:

Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti Po úpravě: sz1 lze odvodit ze vzorce pro sx1 je-li pootočení b=a+p/2

Věta o 1. invariantu tenzoru napětí Sečteme-li normálová napětí, platí Součet normálových napětí v okolí bodu na libovolných dvou ortogonálních ploškách je konstantní

Hlavní normálová napětí Je-li znám tenzor nebo vektor napětí v souřadném systému x, y, pak je často nutné určit směry a hodnoty extrémních normálových napětí. Lze vyjít ze vzorce: Největší normálové napětí je v rovině, v níž je smykové napětí nulové. Této rovině říkáme hlavní rovina a příslušnému normálovému napětí hlavní napětí. Úhel potočení ae roviny xz do hlavní roviny neurčuje jednoznačně směr maximálního a minimálního napětí:

Hlavní normálová napětí se hlavní normálové napětí Z rovnic rovnováhy ve směru x a z vyplývá: Řešení těchto dvou rovnic vede ke kvadratické rovnici s řešením: Hlavním napětím přiřazujeme zpravidla indexy s1> s2 Směry a1, a2 hlavních napětí s1 a s2 lze jednoznačně určit ze vztahů:

Maximální smyková napětí Známe-li maximální normálová napětí, s1,s2 lze normálové napětí sx´ a smykové napětí txź´vyjádřit: Maximální (extrémní)smyková napětí budou na plochách hlavních smyků při hodnotách d vyplývajících z rovnice: Na těchto plochách budou působit maximální smyková napětí textr a normálové napětí ss: Hlavní roviny

Mohrova kružnice

Mohrova kružnice Orientace dle směru otáčení 1. Souřadný systém volíme tak, že osa s odpovídá x, osa t pak ose z 2. Vyneseme bod A (sx, txz) - txz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné (nahoru). 3. Vyneseme bod B (sz, tzx) - tzx má opačnou orientaci jako t1, je proto záporné (dolů). Poznámka: pro orientaci je rozhodující směr otáčení ! Pozor na volbu os xz případně xy. 4. Střed kružnice S je průsečík spojnice AB s osou s, poloměr odpovídá úsečce AS a BS, maximální napětí je v bodě X(s1, 0) kružnice, minimální bodě Y(s2, 0) kružnice. Extrémní hodnoty smykových napětí určují body C a D. 5. Pól Mohrovy kružnice P je průsečík kružnice a rovnoběžky s osou x (s) vedenou bodem A, respektive průsečík kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou z (t) vedenou bodem B. 6. Spojnice PX určuje směr hlavního napětí s1, spojnice PY směr hlavního napětí s2. 7. Chceme-li určit napětí na plošce s normálou x1 pootočenou od x o a, vedeme rovnoběžky s osami x1 a z1 z pólu P – body M a N.

Mohrová kružnice pro jinou orientaci os viz skripta Šmiřák, S Mohrová kružnice pro jinou orientaci os viz skripta Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999. Směr osy x odpovídá s, směr osy y odpovídá t

Speciální případy napjatosti Čistý smyk Příklady rovinné napjatosti s3=0 s maximálními smykovými napětími Přímková napjatost

Trajektorie hlavních napětí Tažený prut Ohýbaný nosník

Trajektorie hlavních napětí Kroucený prut oba směry Mx

Diferenciální rovnice rovnováhy Složky napětí na posunutých ploškách lze zapsat:

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování Ve směru osy x platí podmínka rovnováhy: SFx= 0 Po úpravě:

Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování Po rozepsání rovnic rovnováhy ve směru os x, y a z lze odvodit Cauchyho rovnice rovnováhy:

Geometrické rovnice V prostoru: V rovině:

Geometrické rovnice, rovnice kompatibility (spojitosti) Obdobně lze odvodit: Rovnice kompatibility popisují vzájemnou závislost složek deformací, zachování spojitosti tělesa i po vzniku deformací

Fyzikální rovnice (konstituční vztahy), vztahy mezi napětími a deformacemi Vztahy mezi napětím a poměrnými deformacemi závisí na fyzikálních vlastnostech látek. Pro lineárně pružný materiál je lze vyjádřit v maticové formě: Zkráceně lze zapsat: D je matice tuhosti e je vektor deformace s je vektor napětí dij jsou konstanty vyjadřující velikost napětí při jednotkové poměrné deformaci Matice D je symetrická, dij=dji.

Fyzikální rovnice, vztahy mezi deformacemi a napětím Inverzním vztahem k rovnici je C je matice poddajnosti e je vektor deformace s je vektor napětí cij jsou koeficienty deformace, vyjadřují poměrnou deformaci při jednotkovém napětí Matice C je symetrická, platí cij=cji.

Fyzikální rovnice, maticový a tenzorový zápis, anizotropní látka Maticový zápis fyzikálních rovnic: Tenzorový zápis fyzikálních rovnic: V anizotropní látce jsou fyzikální vlastnosti v každém směru různé. Počet nezávislých konstant nebo koeficientů je maximálně 21.

Počet nezávislých konstant je 2. Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné Počet nezávislých konstant je 2. E je modul pružnosti [Pa] resp. [MPa], [GPa]  je Poissonovo číslo <0, 0,5>

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon, pokračování Po rozepsání je

Počet nezávislých konstant je 2. Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné Počet nezávislých konstant je 2.

Fyzikální rovnice, izotropní látka vztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon Po rozepsání: je:

Fyzikální rovnice, ortotropní látka vztahy mezi deformacemi a napětími, rozšířený Hookův zákon V ortotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech odlišné. Hovoří se o ortotropní anizotropii. Jestliže se směry os x, y, a z ztotožní se směry roviny pružné symetrie je počet nezávislých konstant nebo koeficientů 9. Musí platit: Ex, Ey, Ez jsou moduly pružnosti ve směru os x, y, z xy je Poissonovo číslo dané poměrem příčné deformace ve směru osy x k podélné deformaci ve směru osy y Gxy, Gyz, Gzx jsou moduly pružnosti ve smyku s indexy označujícími rovinu smyku

Základní systém rovnice teorie pružnosti Obsahuje 15 neznámých funkcí: 6 složek napětí (sx, sy, sz, txy, tyz, tzx) 6 složek deformace (ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx) 3 složky posunutí (u, v, w) Těchto 15 neznámých lze určit ze: 3 parciálních diferenciálních rovnic rovnováhy 6 geometrických rovnic 6 fyzikálních rovnic Na povrchu tělesa musí být splněny podmínky odpovídající zatížení a vazbám – okrajové podmínky

Druhy okrajových podmínek 1. Statické okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána povrchová zatížení svými složkami Složky napětí na povrchu tělesa px, py, pz musí být s nimi v rovnováze. Musí tedy platit: 2. Deformační okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadány složky posunutí nebo jejich derivace. Složky deformace povrchu u, v, w tělesa musí vyhovovat těmto podmínkám: 3. Smíšené okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána současně zatížení a deformace

Příklad, zadání, okrajové podmínky, zatížení

Příklad Napětí sx izolinie [MPa] barvy

Příklad Napětí sy izolinie [MPa] Napětí txy izolinie [MPa]

Příklad Napětí s1 izolinie [MPa] Napětí s2 izolinie [MPa]

Použitá literatura [1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004. [2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.