3.2 Vibrace jader v krystalové mříži

krystal … N základních buněk, v buňce s atomů  celkem 3Ns stupňů volnosti Taylorův rozvoj: = 0 = 0 Harmonická aproximace Krystal v harmonické aproximaci je soubor 3Ns (vázaných) LHO Einstein: 3Ns LHO s frekvencí 0  g() každý atom v zákl. b.

vysoké T: ~ Dulong-Petit … ok

nízké T: Einsteinovo přiblížení experiment: oscilátory jsou vázané!

jednoatomová mřížka v dimenzi 1: 1 2 -1 pohybová rovnice

řešení ve tvaru rovinné vlny: periodické v k Disperzní zákon: 1. Brillouinova zóna k

periodicita: ? k  k’ hranice 1.BZ: stojatá vlna (sousední atomy mají opačnou fázi, Un= U0*(1) )  Bragg (difrakce)

 hranice BZ: vg = 0 (stojatá vlna)  k  0: rychlost šíření zvuku v PL dlouhovlnná limita vibrací  zvuk

dlouhovlnná limita vibrací  zvuk pro zvuk:

dvouatomová mřížka v dimenzi 1: výchylky z rovnovážné polohy pohybové rovnice řešení ve tvaru:

M1 = M2 K1  K2  k  0: akustická větev optická větev

nekonečný  konečný vzorek: N atomů okrajové podmínky:  uN = 0 (ukotvím)  Born-Karman periodické  .... jiné N atomů, vázané kmity N nezávislých vibrací k,  (k)

3 větve kmitového spektra na jedno k připadá v r. p. k délka řetízku krystal ve 3D objem  (= Lx Ly Lz) N atomů ( Nx Ny Nz ) objem buňky (....= a3 ) 3N ( -6 ) stupňů volnosti ... 3N nezávislých vibrací L T1, T2 BZ 3 větve kmitového spektra

obecně krystal: s atomů v primitivní b. 3s větví (k) 3 akustické 1 LA, 2TA 3s-3 optické (s-1)LO (2s-2)TO

Kvantování mřížových vibrací, fonony kvantování: každý kmit (LHO) se kvantuje samostatně kvantum energie kmitů mřížky: FONON kvantové číslo; mód obsazen n fonony stav PL .... na 1 atom: na 1 mol: (Dulong - Petit)

fonony jako kvazičástice: oscilátor fonony základní stav nejsou fonony excitované stavy stav PL .... pružný (elastický) rozptyl nepružný rozptyl fonon n Brockhouse, Chalk River (1964)

fonon: kvazičástice jen uvnitř krystalu, interaguje jako částice silně interagující systém jader systém neinteragujících kvantových kvazičástic kvazičástice: fonon elastická vlna plasmon kolektivní elektronová vlna magnon magnetizační vlna polaron elektron + elastická deformace exciton polarizační vlna

Měrné teplo  Einsteinovo přiblížení 1 mol (1-atomová mřížka) Einsteinova teplota

poznámka: N    Debyeovo přiblížení hustota stavů pro 1 atom, 3 větve:

Dulong-Petit na 1 mol:

Einsteinův model w(q) = wE jediná frekvence tzv. Einsteinova teplota dobré např. pro optické fonony Debyeův model tzv. Debyeova teplota dobré např. pro akusticé fonony

realita diamant baze = 2 stejné atomy  6 větví

další konkrétní případ: LuNiAl…. 3 atomy  n = 3 3*n = 9 fononových vetví  3 akustické a 6 optických aproximace exp. dat pomocí 3 parametrů, každý popisuje 3 fon. větve

poznámka: vzrůst nad Dulong-Petit: - další příspěvky (vodivostní elektrony) - Cp - CV - anharmonicita a ... lineární roztažnost, Vm … mol. objem k … isoterm. stlačitelnost

anharmonicita - neekvidistantně rozdělené vibrační hladiny u molekul - „zakázané“ vibračnípřechody v molekulách vody  barva vody - měrné teplo u vyšších teplot překračuje klasickou limitu (Dulong-Petit) - vícefononové procesy - tepelná roztažnost .......

Brillouinovy zóny