F-test a dvouvýběrový t-test (oba testy předpokládají normalitu dat) Porovnání dvou vzorků F-test a dvouvýběrový t-test (oba testy předpokládají normalitu dat)

Mám dva vzorky, a chci vědět, jestli se liší Deset krys krmených standardní a deset krmených obohacenou stravou, na jednom roce zjišťuji váhu (nebo počet červených krvinek) Mám x individuí jednoho a y individuí druhého druhu, a chci vědět, jestli se liší druhy délkami zobáků (a věřím, že jsou to náhodné výběry individuí daných druhů)

Mám dva vzorky Ty (jejich mateřská rozdělení) se mohou lišit buď variancí nebo střední hodnotou nebo obojím... I dva vzorky z téhož základního souboru se mi vždy budou lišit jak variancí, tak průměrem. Proto mě zajímá, jestli se dva vzorky liší tak moc, že je nepravděpodobné, že by byly vzaty z téhož základního souboru

F-test - test shody variancí H0: 12 = 22, alternativa HA: 12  22 Předpokládáme (tj. určíme, který je vzorek 1, aby: d.f. numerator d.f. denominator Kritická hodnota pro test na 5% je tedy 97.5% kvantil POZOR – při prezentaci jakéhokoliv F-testu uvádím vždy df čitatele i df jmenovatele

Hodnotu této plochy musím násobit dvěma, abych dostal dosaženou hladinu významnosti

Příklad: Dvoustranný test na poměr variancí pro hypotézy H0: 12=22 a HA: 1222 Data jsou počty můr chycených během noci jedenácti lapači jednoho nebo osmi lapači druhého typu. H0: 12=22 HA: 1222 =0.05 Lapač typu 1: 41, 34, 33, 36, 40, 25, 31, 37, 34, 30, 38 Lapač typu 2: 52, 57, 62, 55, 64, 57, 56, 55 n1 = 11, df1 = 10 n2 = 8, df2 = 7 s12 = 21.87 můr2 s22 = 15.36 můr2 F = 1.42 F0.05(2),10,7 = 4.76 Nezamítáme proto H0. P(F  1.42) > 0.50 Kritická hodnota, závisí na dvojích stupních volnosti

Pokud dojdu k názoru, že se variance neliší, můžu odhadnout společnou varianci Pro můry sp2=(218.73 + 107.50) / (10 + 7) = 19.19 můr2. Pozor, neprůkazný výsledek mohl ale být i slabým testem (když je málo pozorování)!

Častěji než variance ale porovnáváme střední hodnoty Testujeme nulovou hypotézu H0: 1 = 2 proti alternativní HA: 1  2. Klasický t-test Rozdíl průměrů Střední chyba rozdílu průměrů

Střední chybu rozdílu průměrů spočítám pomocí odhadu společné variance s2p Předpokládám tedy homogenitu variancí Výsledný vzorec potom je

Předpoklady t-testu tedy jsou Normalita dat (tj.data mají normální rozdělení v rámci každé skupiny) Homogenita variancí Pozor, nezávislost pozorovnání je předpokladem prakticky pro všechno (nebo ji musím v testu zohlednit), takže i tady

Všimněte si, že velikost střední chyby klesá (a síla testu tak stoupá) s počty pozorování ve skupinách; máme-li konstantní celkový počet pozorování, pak je chyba nejmenší při stejné velikosti skupin. Na druhou stranu, stejná velikost skupin je výhodná, ale vůbec není nutná!!!

Počet stupňů volnosti je součtem počtu stupňů volnosti pro oba výběry, tedy (n1-1) + (n2-1) = n1 + n2 - 2.

Dvouvýběrový t-test pro oboustranné hypotézy H0: 1 = 2 a HA: 1  2 (které lze také vyjádřit jako H0: 1 - 2 = 0 a HA: 1 - 2  0). Data jsou sedimentační časy (v minutách) lidské krve po podání dvou různých léků (B, G). Podán lék B: 8.8, 8.4, 7.9, 8.7, 9.1, 9.6 Podán lék G: 9.9, 9.0, 11.1, 9.6, 8.7, 10.4, 9.5 n1 = 6 n2 = 7 df1 = 5 df2 = 6 X1= 8.75 min X2 = 9.74 min SS1= 1.6950 min SS2 = 4.0171 min sp2 = 0.5193 min2 t0.05(2),=t0.05(2),11 = 2.201 Zamítáme proto H0. 0.02 < P(t  2.475) < 0.05

Dnes spíše najdeme plochu “ocásku” a (protože se jedná o dvoustranný test), výsledek znásobíme dvěma. tato plocha má velikost 0,0154 - platí tedy že P=0.0308

Pokud je narušena homogenita variancí, lze užít aproximaci Welchovo přibližné t Existují i jiné aproximace t-testu pro různé variance s přibližným počtem stupňů volnosti

Stejný počet pozorování v obou skupinách není předpokladem t-testu Ale robustnost testu vůči narušení homogenity variancí klesá při výrazně nevyváženém počtu pozorování (a test na homogenitu bude zoufale slabý)

Stejný počet pozorování v obou skupinách není předpokladem t-testu Také síla testu klesá s nevyvážeností skupin

Narušení normality dat Do vzorce pro t-test vstupují průměry - tedy ony musí mít normální rozdělení Centrální limitní věta – průměry budou mít normální rozdělení, pokud budou založeny na velkém počtu pozorování S vzrůstajícím počtem pozorování roste nejen síla testu, ale i robustnost

Podobně jako pro jednovýběrový (párový) t-test, i tady můžeme provést jednostranný test Oboustranný test - testuji nulovou hypotézu H0: 1 = 2 proti alternativní HA: 1  2. Jednostranný test - testuji nulovou hypotézu H0: 1 > 2 proti alternativní HA: 1 < 2 (nebo opačným směrem)

ROZLIŠUJ test jednostranný - oboustranný - jak formuluji nulovou hypotézu t-test jednovýběrový (párový) a dvouvýběrový - jaké je uspořádání pokusu nebo pozorování

Párový vs. dvouvýběrový test