Teorie čísel Nekonečno

Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský součin? Co je to relace? Jaké vlastnosti mohou mít relace na množině? Co je to zobrazení? Jaké může mít vlastnosti? Formulujte alespoň 3 axiomy teorie množin

Teorie čísel Odvětví matematiky zabývající se čísly Číselné množiny Definice číselných množin Definice operací na číselných množinách Vlastnosti (zejm. dělitelnost) Souvislost s algebrou Číselné množiny N – přirozená čísla Z – celá čísla Q – racionální čísla I – iracionální čísla R – reálná čísla C – komplexní čísla

Přirozená čísla (N) Množina spolu se zobrazením succ Peanovy axiomy (!x)(y)(xsucc(y)) … toto číslo značíme 0 (x,y)(succ(x) = succ(y)  x = y) (x)(x+0 = x) (x,y)(x+succ(y) = succ(x+y)) (x)(x*0 = 0) (x,y)(x*succ(y) = x*y + x) Je-li U  N taková, že 0U a (x)(xUsucc(x)U), potom U = N.

Přirozená čísla a nula Axiomatická definice vyžaduje, aby 0 N Všeobecně platí, že 0N zejména z historických důvodů Nadále tedy nulu nebudeme považovat za přirozené číslo rozlišujeme tedy N a N0. Pouze pro potřeby axiomatické výstavby nulu do N zahrneme.

Celá čísla (Z) K množině N „připojíme“ všechny rozdíly přirozených čísel, které v ní dosud nejsou Na množině NN zavedeme relaci  (a,b)  (c,d)  a+d = b+c Tato relace je ekvivalencí Množinu celých čísel definujeme jako rozklad příslušný této ekvivalenci Z = NN/ Teprve nyní lze zavést operaci rozdílu!

Racionální čísla (Q) Racionální čísla lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel na přirozených ani celých číslech podíl nelze definovat Konstrukce založená na kartézském součinu Z  (Z-{0}) Na něm definujeme relaci  (a,b)  (c,d)  a*d = b*c Místo (a,b) píšeme a/b Q = Z  (Z-{0})/ Operace jsou definovány a/b + c/d = (a*d+c*b)/(b*d) a/b * c/d = (a*c)/(b*d)

Reálná čísla (R) Na množině Q definujeme řez jako dvojici množin A, B  Q, značíme (A/B), které jsou neprázdné, disjunktní a platí ( aA, bB)(a<b) Nastávají 3 možnosti A obsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo např. ({xQ|x5}/{xQ|x>5}) A neobsahuje největší číslo, B obsahuje nejmenší číslo např. ({xQ|x<5}/{xQ|x5}) A neobsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo např. ({xQ|x22}/{xQ|x2>2}) Množina reálných čísel je množina všech řezů na Q R = {(A/B)}

Komplexní čísla (C) Motivace k zavedení C: Výpočet odmocnin ze záporných čísel C = R  R Místo (a,b) píšeme a+bi Operace: (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i (a+bi) * (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i Imaginární jednotka i (0+1i) * (0+1i) = -1+0i

 Nekonečné množiny

Bouřlivý historický vývoj O pojmu nekonečno Bouřlivý historický vývoj Potenciální x aktuální nekonečno Zenon z Eleje a jeho paradox o Achillovi a želvě Aproximativní výpočty – Eudoxos, Archimédes Integrální počet – Newton, Leibniz

Kardinalita U konečných množin máme počet prvků U nekonečných množin používáme pojem mohutnost (též kardinalita) Kdy jsou dvě množiny stejně mohutné? Když mezi nimi existuje bijekce Množiny, které mají stejnou mohutnost jako N, se nazývají spočetné Spočetné jsou tedy ty množiny, jejichž prvky lze uspořádat do posloupnosti Ostatní nekonečné množiny jsou nespočetné

Spočetné množiny Označme S množinu všech sudých čísel Zobrazení f: N  S, f(n) = 2*n je bijekce N na S. Množina S je tedy spočetná. Sudých čísel je tedy stejný počet jako všech přirozených čísel Celek je stejně velký jako jeho část! Podobně ukážeme, že Z je spočetná množina Jak definovat bijekci mezi N a Z?

Spočetnost racionálních čísel Stejný problém jako spočetnost NN Dvojice N čísel uspořádáme do posloupnosti podle obrázku Důsledek: Nn je spočetná pro každé přirozené n NN 1 2 3 … n (1,1) (1,2) (1,3) (1,n) (2,1) (2,2) (2,3) (2,n) (3,1) (3,2) (3,3) (3,n) m (m,1) (m,2) (m,3) (m,n)

Nespočetnost reálných čísel Reálná čísla tvoří nespočetnou množinu Nelze je uspořádat do posloupnosti Důkaz G. Cantora (1891) Metoda diagonalizace Ukážeme dokonce, že reálná čísla v intervalu <0,1) tvoří nespočetnou množinu

Cantorův důkaz I. Důkaz sporem R čísla z (0,1) – nekonečná posloupnost nekonečných posloupností číslic desetinných částí Zapíšeme do matice M Pokud takto skutečně vyjádříme všechna čísla, dokážeme spočetnost Vezmeme posloupnost číslic na úhlopříčce a zkonstruujeme číslo d di = 2, pokud mi,i2, di = 3, pokud mi,i=2

Cantorův důkaz II. Zkonstruovali jsme reálné číslo d. To však v matici evidentně není, protože n-tá posloupnost má v n-tém sloupci jinou číslici Našli jsme tedy nové reálné číslo Reálná čísla tedy nelze bezezbytku seřadit do nekonečné posloupnosti Reálná čísla jsou tedy nespočetná

Kardinální čísla I. Mohutnost množiny označuje kardinální číslo Mohutnost spočetné množiny (N) je o čteme „alef nula“ Mohutnost R je dána jako mohutnost množiny všech podmnožin spočetné množiny, nazývá se mohutnost kontinua a značí se c 2o ≤ c

Kardinální čísla II. Cantorův důkaz ukazuje, že o< 2o Aritmetika kard. čísel 2o  2o = 2o Z Cantorova důkazu (věty) plyne neexistence největšího kardinálního čísla Potenční množina má vždy větší mohutnost Kardinální čísla netvoří množinu díky axiomu sjednocení by existovalo největší kardinální číslo

Kardinální čísla III. Neexistuje množina všech množin její potenční množina by byla nejvýše tak velká jako ona sama Známá kardinální čísla jsou konečná (přirozená čísla) a nekonečná (nejmenší je o, větší je např. c) Nevíme, zda je c nejmenší nespočetné kardinální číslo nerozhodnutelný problém teorie množin