4. Metoda nejmenších čtverců Je-li znám explicitní tvar měřené závislosti, používá se obvykle pro interpolaci naměřené závislosti metody nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců je metodou početní interpolace. Teoretická závislost nechť má tvar: a,b,c,.. jsou parametry. Mějme k disposici n dvojic naměřených hodnot (xi ,yi ) , i = 1, 2, .., n. Dále předpokládáme: a) přesnost nastavení hodnot nezávisle proměnné xi je řádově větší, než přesnost měření závisle proměnné yi , která má obecně pro každý bod jinou dispersi ( ). b) explicitní tvar funkce fa,b,c,..(x) je znám.

Optimální hodnoty parametrů a,b,c, .. jsou takové hodnoty Vytvoříme veličinu: Optimální hodnoty parametrů a,b,c, .. jsou takové hodnoty pro které je funkce, 2(a,b,c,..) minimální. 4.1. Speciální případ lineární funkce (y = ax): Podmínkou minima je:

a dále: Jsou-li i =  pro všechna i = 1,...,n , potom: označme dále: potom:

4.2. Střední hodnota a disperse odhadu Střední hodnota odhadu: Odhad je nevychýlený ! Disperse odhadu: : jsou-li veličiny: známé, je problém vyřešen

Nejsou-li známé, platí-li však: pro všechna i=1,...,n potom: hodnotu odhadneme ze souboru naměřených hodnot (xi, yi) . V analogii s případem jedné proměnné odhadneme: kde R1 je nejmenší suma čtverců odchylek: Seminární úloha 4.1. Dokažte, že výše uvedený odhad veličiny y2 je odhad vychýlený.

Pro nevychýlený odhad volíme hodnotu: vzpomeneme si: Celkově je tedy: Výsledek zapisujeme ve tvaru:

4.2. obecná přímka y = a0 + a1 x (dva parametry) Funkce 2 : Odhad parametrů a0 , a1: řešení pro případ: požadujeme: , dále: (Pro druhý případ obdobně) výsledek:

Soustava rovnic: Potom pro odhad parametrů máme: Odhady jsou nevychýlené: Seminární úloha 4.2.: Dokažte výše uvedené tvrzení o středních hodnotách odhadů parametrů a0 a a1.

Odhad disperse parametrů a0 , a1: upravíme: veličina: je v uvažovaném přiblížení konstantou potom:

obdobně: Seminární úloha 4.3.: Dokažte výše uvedené tvrzení o dispersi odhadu parametru a1.

Celkově: Veličinu y2 odhadneme analogicky s případem jedné proměnné: Potom: Výsledky zapisujeme ve formě:

4.3. Semestrální práce k semináři „Úvod do praktické fyziky“ 1) Mikrometrem byla změřena tloušťka destičky. Byly změřeny tyto hodnoty: č.měř. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d [mm] 1,23 1,20 1,42 1,21 1,26 1,24 1,27 Výsledek měření udejte: a) se standardní odchylkou jediného měření b) s pravděpodobnou chybou jediného měření c) se střední kvadratickou chybou aritmetického průměru

průměr kapiláry d = (1,29 ± 0,03) mm, 2) Při měření viskozity pomocí Mariottovy láhve se nechá kapalina protékat kapilárou o poloměru r a délce l za stálého přetlaku p= h  g , kde h je výška kapaliny,  hustota kapalinu a g tíhové zrychlení. Viskozitu určíme ze vztahu kde V  je objem kapaliny, který proteče kapilárou za dobu t . Určete viskozitu vody, jestliže: průměr kapiláry d = (1,29 ± 0,03) mm, délka kapiláry l = (147,4 ± 0,1) mm výška kapaliny h = (6,5 ± 0,2) cm. Měřili jsme čas t , za který proteče kapilárou objem objem V = (100 ± 1) ml č. měření 1 2 3 4 5 t [s] 368,34 366,4 368,58 367,02 367,3 Pro stanovení výsledné přesnosti měření času uvažte navíc chybu danou reakční dobou experimentátora (~0,2 s) a spojte ji eventuálně s chybou statistickou. Stanovte viskozitu kapaliny a celkovou nejistotu měření.

3) Při určování tuhosti pružiny k statickou metodou vycházíme z Hookova zákona pro pružinu: kde F je působící síla realizovaná závažím o hmotnosti m a y je prodloužení pružiny. Určete tuhost pružiny k (a její chybu) pro tyto měřené hodnoty m [g] 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 y [cm] 2,5 4,7 7,1 9,4 11,7 13,7 17 18,4 19,7 22,8 25,0 27,1 Chybu veličiny y je možno ve všech měřených bodech považovat za stejnou. Výsledky měření zpracujte též graficky.

m (g) y (cm) e (cm) 0.4 5 2.5 0.6 10 4.7 0.8 15 7.1 20 9.4 0.1 25 11.7 30 13.7 35 17 1.6 40 18.4 45 19.7 50 22.8 1.8 55 60 27.1 70 31.3 80 34.8 90 39.9 100 44.5 110 48.5 120 52.9 130 57.3

4.4. Alternativní řešení funkce s jediným parametrem: Označme: parabola minimum: rozvoj:

2 a

přímka se dvěma parametry: rozvoj v okolí minima:

elipsa tečna ׀׀ a0´: obdobně:

Speciálně:

Obecná funkce se dvěma parametry: - minimum numericky - rozvoj v okolí minima označíme: rovnice elipsy:

Semestrální práce č.3