6.2.4. Geometrický parametr reaktoru různého tvaru Hledáme řešení vlnové rovnice: Řešení musí vyhovovat podmínkám: hustota toku neutronů na extrapolovaném rozhraní je rovna nule hustota toku neutronů musí být ve zkoumaném reaktoru symetrická, nezáporná a konečná

1. Reaktor ve tvaru kvádru Obr. 6.3 – Reaktor ve tvaru kvádru a průběh hustoty toku neutronů ve směru osy x

Vlnová rovnice má tvar: Okrajové podmínky: Hustota toku neutronů f(x,y,z) musí být konečná a nezáporná v celém reaktoru f(x,y,z) = 0 pro x = ± a’/2, y = ± b’/2, z = ± c’/2 Substituce: Po úpravě dostaneme rovnici: Každý z prvních tří sčítanců závisí jen na jedné proměnné  každý z nich můžeme položit rovný konstantě:

Po dosazení dostaneme pro konstanty podmínku: Ukážeme, že konstanty a2, b2 a g2 musí být kladné veličiny. Řešíme diferenciální rovnici s proměnnou x: Řešení této rovnice závisí na konstantě a2. Pro a2 > 0 : Pro 2 < 0 : A, C, A’ a C’ jsou libovolné konstanty z podmínek pro řešení dostaneme: C = C’ = A’ = 0 

Z uvedeného rozboru je vidět, že konstanta a2 musí být kladná Z uvedeného rozboru je vidět, že konstanta a2 musí být kladná. Z druhé okrajové podmínky dostaneme: Protože řešení A = 0 je triviální, musí být Tato podmínka bude splněna, když položíme: Nejmenší hodnota veličiny a je pro n = 1  Řešení rovnice můžeme potom napsat ve tvaru:

Stejným způsobem dokážeme, že i veličiny b2 a g2 musí mít reálnou a kladnou hodnotu, protože mezi proměnnými x, y, a z není podstatný rozdíl. Můžeme psát: Závislost geometrického parametru na rozměrech tohoto reaktoru bude potom vyjádřena vztahem: Průběh hustoty toku neutronů v kritickém reaktoru obdržíme dosazením funkcí X(x), Y(y) a Z(z): Konstanta f0 je hodnota hustoty toku neutronů pro x = y = z = 0 a závisí na výkonu reaktoru.

2. Kulový reaktor použijeme sférické souřadnice počátek souřadného systému položíme do středu koule Laplaceův operátor bude mít tvar: Vlnová rovnice: Okrajové podmínky jsou stejné jako v případě reaktoru ve tvaru kvádru. Pro řešení vlnové rovnice provedeme transformaci:  Geometrický parametr má kladnou hodnotu, proto můžeme řešení této rovnice napsat ve tvaru:

Hustota toku neutronů mu¨sí být konečná: C = 0 Potom řešení bude mít tvar: Druhá okrajová podmínka požaduje, aby hustota toku na extra- polovaném poloměru kulového reaktoru byla rovna nule: Aby řešení bylo netriviální (tj. A  0), musí platit: Rovnice je splněna, když BG = n/R’, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota je pro n = 1. Proto geometrický parametr kulového reaktoru: a rozložení hustoty toku neutronů: kde opět konstanta úměrnosti f0 závisí na výkonu reaktoru.

3. Válcový reaktor Obr. 6.4 – Válcový reaktor a rozložení hustoty toku neutronů: 1-(r,0); 2-(0,z)

používá se válcová symetrie válec orientujeme tak, že osa válce bude totožná s osou z a počátek souřadnicového systému položíme do jeho středu: f = f(r,z) Laplaceův operátor bude mít tvar: Vlnová rovnice: Okrajové podmínky: funkce f(r,z) musí být všude konečná a nezáporná hustota toku neutronů musí být nulová na extrapolovaných rozhraních: a) b)

Řešení vlnové rovnice hledáme separací proměnných r a z: Po dosazení a po úpravě získáme rovnici: První člen závisí jen na souřadnici r, druhý jen na souřadnici z, proto můžeme každý z nich položit rovný konstantě: Po dosazení:

Nejprve vyřešíme rovnici: po úpravě dostaneme: Zavedením nové nezávisle proměnné u = ar můžeme tuto rovnici upravit na Besselovu rovnici nultého řádu: kde jsme dosadili za a za Pokud bude veličina u2 a tedy i a2 kladná, bude obecné řešení Besselovy rovnice: J0, Y0 - Besselovy funkce nultého řádu prvého a druhého druhu

Pokud má veličina u2 zápornou hodnotu, řešením Besselovy rovnice jsou modifikované Besselovy funkce I0 a K0. Protože funkce I0 a K0 nevyhovují okrajovým podmínkám této úlohy, musíme je vyloučit. Z průběhu funkcí J0 a Y0 na obr.6.5 je vidět, že musíme vyloučit i funkci Y0, protože pro veličinu u  0 klesá do -. Obr. 6.5

Po dosazení původní nezávisle proměnné bude mít řešení tvar: Vztah pro veličinu a určíme z okrajové podmínky pod bodem 2/a: Konstanta A nemůže být rovna nule, proto musí platit: Besselova funkce J0(x) má n vlastních hodnot xn, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota této funkce je pro n = 1, x1 = 2,405. Pro tuto vlastní hodnotu dostáváme i nejnižší hodnotu veličiny a: Radiální rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru je potom vyjádřeno vztahem:

Řešení rovnice pro axiální rozložení hustoty toku neutronů určíme analogickým způsobem jako pro reaktor ve tvaru kvádru. Řešení bude mít tvar: a veličina: Po dosazení získáme pro geometrický parametr válcového reaktoru vztah ve tvaru: Rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru, který je v kritickém stavu, můžeme potom vyjádřit funkcí:

Pro r = 0 je funkce J0(ar) = 1 a cos(bz) = 1 pro z = 0, bude proto konstanta f0 představovat maximální hodnotu hustoty toku neutronů v geometrickém středu reaktoru, která je opět úměrná jeho výkonu. Veličiny a2 a b2 ve vztahu pro geometrický parametr (laplasián), se někdy nazývají radiální a axiální složka laplasiánu.