TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ Milan Hanuš hanusm@sos-souhtyn.cz Prezentace je dostupná i na http://podtrosou.chytrak.cz Přehled učiva PDF

Věty vyplývající z podobnosti trojúhelníků Věty o podobnosti trojúhelníků Dva trojúhelníky jsou podobné: shodují-li se poměry odpovídajících si stran (věta sss) shodují-li se ve dvou úhlech (věta uu) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené (věta sus) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly proti větším z nich (věta Ssu) Věty vyplývající z podobnosti trojúhelníků 1. Dva trojúhelníky jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo navzájem kolmé. 2. Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících si stran. 3. Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu. 4. Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY SSS C C´ b´ a´ b a A´ c´ B´ c A B Jestliže jsou poměry všech sobě odpovídajících stran trojúhelníků shodné, pak jsou tyto trojúhelníky podobné. Konstanta k je poměr podobnosti Zápis: ΔABC ~ ΔA´B´C´ Čteme: trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A´B´C´

Příklad: Určete, zda je ΔABC podobný ΔKLM. ΔABC: a = 6,2cm; b = 7,3 cm; c = 8,4 cm. ΔKLM: |KL| = 812,2 m; |LM| = 956,3 m; |KM| = 1100,4 m. Je dán ΔABC: a = 28,2cm; b = 25,3 cm; c = 48,4 cm. Určete obvod podobného trojúhelníka XYZ, je-li poměr podobnosti 0,01. Je dán ΔABC: a = 18,2cm; b = 15,2 cm; c = 28,4 cm a ΔA´B´C´: a´= 36,4cm; b´= = 30,4 cm; c´= 56,9 cm. V případě, že jsou podobné, vypočítejte poměr podob-nosti k. Výsledek zapište. Změní-li se strany 0,01 krát, změní se i obvod ΔXYZ 0,01 krát. o = 0,01 · (28,2 + 25,3 + 48,4) = 1,019 cm = 1cm ΔABC ~ ΔA´B´C´ Protože poměry sobě odpovídajících stran jsou shodné, jsou oba trojúhelníky podobné. ΔABC ~ ΔKLM

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY SUS C´´ C´ C α A B B´ B´´ Jestliže jsou poměry dvou sobě odpovídajících stran trojúhelníků a úhel jimi sevřený shodné, pak jsou tyto trojúhelníky podobné.

Příklad: Je dán ΔABC: b = 15,2 cm; c = 28,4 cm; α = 38°15´ a ΔA´B´C´: b´= 30,4 cm; c´= 56,8 cm; α´= 38°15´. Určete zda jsou oba trojúhelníky podobné. C(C´) 15,2(30,4´) α(α´) A(A´) 28,4(56,8´) B(B´) ΔABC ~ ΔA´B´C´

Příklad: Lešení vrhá ve 13:00 hodin 5 m stín Příklad: Lešení vrhá ve 13:00 hodin 5 m stín. 1 m dlouhá k zemi kolmá tyč má ve stejnou dobu stín ¾ metrový stín. Jak vysoké je lešení? α x m α 1 m 5 m ¾ m Zobrazené trojúhelníky jsou si podobné. Proto platí: je jedním ze čtyř strukturálních fondů EU Výška lešení je 6.7 m.

Zvolená délková jednotka, např. 1 cm Úkol: Rozdělte úsečku AB neznámé délky na dvě části v poměru 3 : 2. B C A Zvolená délková jednotka, např. 1 cm p Platí: |AC| : |CB| = 3 :2 Cílem ESF je snižování nezaměstnanosti

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ PODLE VĚTY Ssu C C´ b a a´ b´ α α´ A c B A´ c´ B´ Jestliže platí, že a/a´ = c/c´a současně α = α´, pak ΔABC ~ ΔA´B´C´. Příklad: Z ochozu věže je spuštěné napjaté 60 metrové ocelové lano delší než je výška ochozu nad zemí. Ve vzdálenosti 2 m od ukotvení na zemi je lano 1,5 m nad zemí. Jak vysoko je věžní ochoz? 60 m x m 2 m 1,5 m Ochoz věže je 45 metrů nad zemí.

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR KONEC TEST 

Test

A Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že |XY | = 4/5 |AB|. Z vrcholu televizního vysílače je spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan, vysoký 185 cm, se jej ve vzdálenost 2 m od ukotvení lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoká je věž a jak dlouhé je kotevní lano? ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 3. Jaký je obsah ΔA´B´C´? B Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že |XY | = 5/4 |AB|. Z vrcholu televizního vysílače je z výšky 17,6m spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan se jej ve vzdálenost 20 m od ukotvení lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoký je Jan a jak dlouhé je kotevní lano? ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 0,3. Jaký je obsah ΔA´B´C´?

ŘEŠENÍ A 1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že |XY | = 4/5 |AB|. B Y A ≡ X p |XY | = 4/5 |AB| Vytváří podmínky pro růst vzdělanosti obyvatel Evropy

A Z vrcholu televizního vysílače je spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan, vysoký 185 cm, se jej ve vzdálenost 2 m od ukotvení lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoká je věž a jak dlouhé je kotevní lano? y m x m 1,85 m 2 m 200 m Výška stožáru je 150 metrů. Délka lana je 250 m.

Podpora rovných příležitostí se zaměřením na rozvoj trhu práce 3. ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 3. Jaký je obsah ΔA´B´C´? S = 0,5zv Jestliže je poměr podobnosti k = 3, pak se všechny délkové rozměry změní v tomto poměru. Jestliže dva rozměry zvětšíme třikrát pak se jejich součin změní 3 x 3 krát. Obsah 2700 dm2. Podpora rovných příležitostí se zaměřením na rozvoj trhu práce

B 1. Sestrojte libovolnou úsečku AB. Pak k ní SESTROJTE XY tak, aby platilo, že |XY | = 5/4 |AB|. Y B ≡ X A p |XY | = 5/4 |AB|

B Z vrcholu televizního vysílače je z výšky 17,6m spuštěno napjaté kotevní lano do vzdálenosti 200 m od paty věže. Jan se jej ve vzdálenost 20 m od ukotvení lana na zemi právě dotýká hlavou. Jak vysoký je Jan a jak dlouhé je kotevní lano? y m 17,6m x m 20 m 200 m Jan měří 176 cm. Lano je 201 m dlouhé.

B ΔABC má plochu 300 dm2. Pro podobný ΔA´B´C´ platí poměr podobnosti k = 0,3. Jaký je obsah ΔA´B´C´? S = ½zv Jestliže je poměr podobnosti k = 0,3, pak se všechny délkové rozměry změní v tomto poměru. Jestliže dva rozměry zvětšíme tři desetiny krát pak se jejich součin změní 0,3 x 0,3 krát. Obsah 27 dm2. Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy ČR je partnerem ESF