Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/ října 2012 VY_32_INOVACE_110202_Kombinatoricka_pravidla _ II._ cast_DUM obr. 1

obr. 2

Opět si objasníme, že mnohé kombinatorické úlohy se dají řešit pomocí dvou základních pravidel: a) kombinatorického pravidla součtu b) kombinatorického pravidla součinu. obr. 3

Nyní si připomeňme znovu obě kombinatorická pravidla, s nimiž jsme se seznámili v minulém výukovém materiálu. Kombinatorická pravidla – 1. část obr. 4

obr. 5

K názornějšímu pochopení obou kombinatorických pravidel součtu a součinu slouží opět čtyři matematické úlohy, které jsou uvedené společně s řešením. obr. 3

Úloha 1 Řešení úlohy 4 Úloha 4 Řešení úlohy 2 Úloha 2 Řešení úlohy 3 Úloha 3 Řešení úlohy 1

Na obrázku je vyznačen trojúhelníkový obrazec. Určete počet všech trojúhelníků, jejichž strany leží na přímkách tohoto obrazce. A BC zpět do nabídky úloh

pokračování

zpět do nabídky úloh

Z místa A do místa B vede 5 turistických tras. Z místa B do místa C 6 turistických tras. Určete: a)kolika způsoby může turista dojít z místa A do místa C, chce-li se zastavit v místě B, b) kolika způsoby může dojít z místa A jen do místa B a zpět, nechce-li jít zpátky stejnou cestou. zpět do nabídky úloh obr. 6

pokračování obr. 6

zpět do nabídky úloh obr. 6

Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 4, 5, 6, 7 nejvýše jednou. zpět do nabídky úloh obr. 7

zpět do nabídky úloh obr. 7

Silnice vedoucí podél břehů řeky jsou mezi místem A na jednom břehu řeky a místem B na druhém břehu řeky propojeny 4 mosty. Určete, kolika způsoby je možno dojet z A do B, jestliže po každém mostu a každým bodem každé silnice smíme projet nejvýše jednou. Na obr. je vyznačen jeden ze způsobů. A B aaa bbb zpět do nabídky úloh obr. 8

Označme písmenem a každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na tom břehu řeky, na kterém se nachází místo A. Dále označme písmenem b každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na druhém břehu. Každou cestu z A do B vyznačíme pomocí uspořádané trojice sestavené z písmen a, b podle toho, kterým z úseků a v jakém pořadí cesta povede. Např. podle úvodního obr. uspořádaná trojice (b, b, a). Takovéto uspořádané trojici odpovídá právě jedna cesta z místa A do místa B. Počet způsobů, jak dojít z místa A do místa B se rovná počtu uspořádaných trojic. pokračování obr. 8

zpět do nabídky úloh obr. 8

Ve čtyřech kombinatorických úlohách jsme se prakticky zaměřili na využití dvou základních kombinatorických pravidel. Volně jsme tak navázali na výukový materiál: „Kombinatorická pravidla – 1.část“. V dalších výukových materiálech se seznámíme s dalšími částmi kombinatoriky – tj. matematické vědy, která se zabývá množinami a uspořádanými k-ticemi. obr. 1

Použitá literatura: 1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 168, 170. ISBN ) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998., s ISBN X.

Použité obrázky: 1) GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – Wikimedia Commons [online]. 6 September 2006 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 2) PAJS. File:Math mnoziny cisel.png - Wikimedia Commons [online]. 14 August 2006 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 3) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 4) BAŤHA, Matěj. File:D6 smajlik.jpg - Wikimedia Commons [online]. 24 April 2008 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 5) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choice.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z:

Použité obrázky: 6) LONSPA. File:Turisticky denik.jpg – Wikimedia Commons [online]. 1 November 2011 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 7) GALAKSIAFERVOJO. File:Math.jpg - Wikimedia Commons [online]. 4 April 2006 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: 8) CAPPER, Ian. File:Greta bridges - Bridge 4 - geograph.org.uk jpg – Wikimedia Commons [online]. 11 April 2008 [cit ]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: _geograph.org.uk_-_ jpg?uselang=cs Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

Mgr. Daniel Hanzlík