Konstrukce trojúhelníku Známe-li jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé. Konstrukce podle věty usu (úhel, strana, úhel).

OPAKOVÁNÍ VLASTNOSTÍ

Trojúhelník - vlastnosti Trojúhelník je rovinný geometrický útvar sestávající ze tří stran, tří vrcholů a tří vnitřních úhlů.

Trojúhelník - označování Pozor při značení vrcholů a stran trojúhelníku. Strana a proti vrcholu A, strana b proti vrcholu B, strana c proti vrcholu C. Popis vrcholů začínáme obvykle v levém dolním rohu, ale vždy popisujeme vrcholy proti směru pohybu hodinových ručiček.

Trojúhelník – součet vnitřních úhlů Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°. 37° 73° 70° ____ 180°

KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKU usu

ČÁSTI ÚLOHY - KONSTRUKCE TROJÚHELNÍKU Načrtnout si NÁČRT – zvýraznit barevně vše, co je zadáno ZKOUŠKA – zjistit, zda zadaný trojúhelník lze sestrojit a určit podle jaké věty je zadán například pomocí trojúhelníkové nerovnosti, velikosti úhlů… ROZBOR – promyslet si jak budu postupovat při konstrukci, stručně tento postup zapsat a znázornit v náčrtku POPIS KONSTRUKCE – pomocí geometrických symbolů zapsat postup konstruování KONSTRUKCE – trojúhelník sestrojit podle popisu konstrukce se znázorněním všech použitých písmen z popisu konstrukce OVĚŘENÍ – přeměřím délky stran a velikosti vnitřních úhlů ve zkonstruovaném trojúhelníku – ověřím zda vyhovují zadání DISKUSE – určím počet řešení v jedné polorovině

Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. VZOROVÝ PŘÍKLAD Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm.

1. NÁČRT Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. Načrtnout (pokud není v zadání uvedeno jinak) obecný trojúhelník, popsat vrcholy a strany a barevně znázornit zadané údaje  = 40°  = 60° c = 8 cm

2. ZKOUŠKA  +  = 40°+60°= 100° 100°< 180° Zjištění, zda lze trojúhelník sestrojit? Součet velikosti vnitřních úhlů musí být menší než 180°.  +  = 40°+60°= 100° 100°< 180° Závěr – trojúhelník lze sestrojit  = 40°  = 60° c = 8 cm

3. ROZBOR Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. - K tomu, abychom sestrojili trojúhelník, potřebujeme mít zadány 3 údaje. - Tak, jak je tomu v našem případě, kdy známe jednu stranu a dva úhly k ní přilehlé. - Tyto tři zadané údaje se pak zpravidla využívají v prvních třech krocích postupu konstrukce. - Čím při rýsování začneme? Při konstrukcích trojúhelníků začínáme většinou (je-li zadána) stranou, a to dolní vodorovně umístěnou stranou.  = 40°  = 60° c = 8 cm

3. ROZBOR Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. - Dále budeme hledat bod C. Co o něm víme? - Víme, že leží na rameni úhlu  o velikosti 40°. - Kde se tedy může nacházet bod splňující danou podmínku? - Co je množinou všech takových bodů? - Je to polopřímka AY, tj. rameno úhlu  = 40°. Y C1 C2 C3 C4 C5  = 40° A c = 8 cm

3. ROZBOR Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. - Co dále o bodu C víme? - Víme, že leží i na rameni úhlu  o velikosti 60°. - Množinou bodů ležících na rameni úhlu  o velikosti 60°je polopřímka AZ, tj. rameno úhlu  = 60°. Z Y  = 40°  = 60° A c = 8 cm B

3. ROZBOR Zapisujeme: C  AY  BZ Př.: Sestrojte trojúhelník ABC, ve kterém  = 40°,  = 60°, c = 8 cm. - Kde se tedy nachází vrchol C trojúhelníku? - Leží v průsečíku polopřímky AY a polopřímky BZ, tzn. množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu  o velikosti 40°, a množiny všech bodů, které leží na rameni úhlu  o velikosti 60°. Jako 2. a 3. krok konstrukce tedy narýsujeme výše uváděné polopřímky. Z Y Zapisujeme: C  AY  BZ C  = 40°  = 60° A c = 8 cm B

4. POPIS KONSTRUKCE

5. KONSTRUKCE

6. OVĚŘENÍ Konstrukci proměříme, zda odpovídá zadání, a trojúhelník vytáhneme silněji. A takto vypadá celá konstrukce.

7. DISKUSE Úloha má jedno řešení. (v polorovině určené úsečkou AB a bodem C)

PŘÍKLADY K PROCVIČOVÁNÍ

příklad č. 1 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: c = 35 mm,  = 120°,  = 45°

příklad č. 2 Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže: |BC| = 9 cm,  = 35°,  = 55°

příklad č. 3 Sestrojte trojúhelník OPQ, jestliže: |QOP| = 30°, |OPQ| = 115°, q = 7 cm

Konstrukce trojúhelníku podle věty usu Otevřete si na závěr ještě následující odkaz. Můžete myší měnit polohu bodů A, B a sklon polopřímek AX a BY (tzn. velikost úhlů) na uvedené konstrukci. Sledujte, kdy se barva polopřímek změní v zelenou, tzn. kdy nelze trojúhelník sestrojit. Dokážete odpovědět , kdy a proč to je? http://www.horackova.cz/cabri/vyklad/633.htm

Konstrukce trojúhelníku podle věty usu Tak co jste zjistili? Kdy se barva polopřímek mění v zelenou? Ano správně. Je to ve chvíli, kdy součet dvou zadaných úhlů dosáhne velikosti 180°. To znamená ve chvíli, kdy by mám na třetí úhel již nezbýval ani „stupeň“ (vzhledem k tomu, že 180° je součet všech tří úhlů jakéhokoliv trojúhelníku).

ZDROJE www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaný z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.