Neurčitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Princip výpočtů – neurčitý integrál (100 – a) % Plocha se počítá pomocí určitého integrálu

Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F / (x) = f ( x ) Nechť F (x) je funkce, pro kterou platí F / (x) = f ( x ). Pak F je primitivní funkce k funkci f. Nechť F je primitivní funkce k f, tj. F / (x) = f ( x ). Jestliže c je libovolná konstanta, pak (F + c) / (x) = f ( x ), tedy F + c je rovněž primitivní fukce k f. Stručněji píšeme Integrace některých funkcí. Příklad. | | | | | |

Neurčitý integrál z funkce f lze počítat pouze na množině, kde je f definována!!!

Integrace per partes. Nechť f a g mají vlastní derivace v intervalu I. Pak f g' je integrovatelná v I právě tehdy, je-li f 'g integrovatelná v I, a platí Příklad.

Příklad. Substituce. Nechť z = f ( x ), x  A  D( f ) a f má derivaci v A y = g ( z ), z  B  D( g ) a existuje primitivní funkce G ( z ) na B f ( A )  B Pak

Příklad. Stručněji a jednodušeji

Příklady k procvičení. Vypočítejte , jestliže

Určitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Plocha se počítá pomocí určitého integrálu (100 – a) % Princip výpočtů – neurčitý integrál

Newtonův (určitý) integrál. Nechť k funkci f existuje na intervalu I = [a, b] (- , + ) primitivní funkce F, tj. F / (x) = f (x), xI. Nechť existují a . Pak definujeme Newtonův (určitý) integrál Riemannův integrál. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) Délka hrany obdélníků na ose x: h Můžeme psát S H (h), S D (h). Definujeme: (Riemannův integrál k f na intervalu (a, b)

“plocha“ obdélníka: f (m) h, kde m je buď minimum, nebo maximum v úseku na ose x určitý integrál z kladné funkce je kladný, ze záporné funkce je záporný. pokud je (a, b) konečný, nezáleží na jeho typu. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) Je-li funkce f spojitá na intervalu [a, b], pak

Příklad. Příklad. Příklad (úvodní). tj. zhruba 16.7% (ze 100m2).

Integrace per partes pro určitý integrál. Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v intervalu (a, b). Nechť existuje . Pak Příklad. Určete velikost plochy pod křivkou f (x) = x sin(x) na intervalu (0, ).

Substituce v určitém integrálu. Nechť funkce g má primitivní funkci na intervalu (a, b), nechť f je diferencovatelná funkce na intervalu (c, d), R( f )  (a, b). Pak Příklad. Určete obsah kruhu o poloměru r. Stačí vypočítat obsah horního půlkruhu a vypočtený obsah násobit 2. (Jinak by takto popsaný kruh měl obsah roven 0!!!!!!

Substituce x / r = y. Pak dx / r = d y. Když x = - r, pak y = - r / r = - 1. Když x = r, pak y = 1. = (*) Substituce y = sin z. Pak dy = cos z dz. Když y = -1, pak z = -/2, když y = 1, pak z = /2. Platí (ověřte!!) (*) = Substituce 2z =p, 2zdz = dp. Když z = /2, pak p =  (protože poslední integrál je roven 0 – ověřte!!!!) Plocha horního půlkruhu je tedy rovna r 2 / 2, tedy plocha kruhu je rovna r 2 .

Příklad. Určete plochu na intervalu (0, 1), která je pod křivkou f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) a nad křivkou g ( x ) = x (1 - x). f ( x ) g ( x )

Příklad. Vpočítejte. Příklad. Vpočítejte. A (x – 3) + B (x + 1) = 1  A = -B = 0.25

= log (1/3)0.25  - 0.275 Příklad. Vypočítejte obsah oblasti ohraničené křivkami y = x 2, y 2 = x, x  0. Společné body křivek: [x, y] = [0, 0] [x, y] = [1, 1] Plocha je rovna 2/3 - 1/3 = 1/3.

Objem rotačního tělesa. Objem tělesa vzniklého rotací funkce f, f  0 na (a, b), kolem osy x se spočítá jako Příklad. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2. Aby se integrály nevynulovaly, počítáme 2x rotaci půlkruhu. Objem koule tedy je 4  r 3 / 3.

Příklady k procvičení. Určete objem tělesa, které vznikne rotací plochy pod f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) na intervalu (0, 1). Vypočtěte objem kužele, který vznikne rotací úsečky y = r x / v kolem osy x na intervalu (0, v ), v je výška kužele, r je poloměr podstavy.