Přirozené číslo v didaktickém systému primární školy Jana Bazgerová Učitelství pro 1. stupeň ZŠ Vedoucí diplomové práce: doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc.

Cíl diplomové práce Seznámit s přístupy žáků a studentů k pojmu přirozeného čísla a vyhodnotit, který z těchto přístupů ve školské matematice převládá.

2 Teorie přirozeného čísla a přístupy k pojmu přirozeného čísla ve školské matematice Přirozené číslo jako číslo kardinální. Přirozené číslo jako číslo ordinální. Přirozené číslo jako prvek Peanovy množiny.

3 Didaktické souvislosti vytváření pojmu přirozeného čísla

Etapy vytváření matematických pojmů ve vědomí dítěte Etapa motivace, etapa separovaných modelů, etapa univerzálních modelů, etapa pojmu (poznatku), krystalizace.

Rozšiřování představy přirozeného čísla u dítěte Matematické představy přirozeného čísla u dětí předškolního věku. Postupné rozšiřování pojmu přirozeného čísla během prvního stupně základní školy.

4 Množinové pojetí matematiky (1976 - 1990) Co vedlo k modernizaci školské matematiky. Průběh modernizace matematiky. Podstata množinového pojetí a vyučování přirozených čísel v něm. Další osud množin ve školách.

Praktická část

Cíl výzkumného šetření pro diplomovou práci Zjistit, jaká představa mnohosti u respondentů převládá (kardinální nebo ordinální) a zda tato představa může souviset s věkem a matematickým vzděláním respondentů. Porovnat výsledky mého šetření s výsledky Eisenmannova výzkumu. (Jak Eisenmann, tak i já vycházím z Hejného knihy Teória vyučovania matematiky 2, 1990).

Hypotézy H1: U respondentů základních a středních škol bude převládat ordinální přístup. H2: U dětí předškolního věku (hlavně dětí čtyřletých a pětiletých) a u studentů vysoké školy, kteří i zde studují matematiku, se objeví kardinální přístup častěji, než u ostatních respondentů. H3: Výsledky mého výzkumu se nebudou výrazně lišit od výsledků výzkumu prováděného Petrem Eisenmannem.

Metody výzkumu 2 matematické úlohy předložené respondentům různých věkových kategorií (každému zvlášť) a sledování postupu při řešení.

1. úloha Před respondenta jsou umístěny dvě skupiny figurek ze hry „Člověče, nezlob se!“ (29 červených, 30 modrých). Figurky nejsou nijak uspořádané. Instrukce: „Mám tady dvě hromádky panáčků a potřebuji vědět, kterých je víc.“ Sleduji, zda respondent figurky spočítá a pak porovná počty, nebo zda vytváří zobrazení, nebo úlohu řeší odhadem (oba poslední postupy považovány za kardinální přístup).

2. úloha Před respondenta je umístěn obrázek se dvěma množinami s nepravidelně uspořádanými kroužky (vpravo 12, vlevo 11). Respondent má k dispozici tužku, ale záleží jen na něm, zda ji použije. Instrukce: „Na obrázku jsou dvě množiny (pro děti předšk. věku ohrádky, ml.šk.v. ovály) s kolečky a já potřebuji vědět, ve které je těch koleček víc.“ Opět bylo sledováno, zda kolečka v obou množinách spočítal a pak porovnal, spojoval dvojice (zobrazení) nebo výsledek odhadl.

Výzkumný vzorek Výzkum jsem prováděla vždy ve třech MŠ, třech ZŠ v Olomouci, třech SŠ (SPgŠ Přerov; Obchodní akademie a Slovanské gymnázium Olomouc) a se studenty Učitelství pro 1. Stupeň ZŠ na Pedagogické fakultě UP Olomouc. Věkové rozpětí: v MŠ to byly děti 4, 5 a 6-ti leté, na ZŠ žáci 2., 4., 6. a 8. třídy, na SŠ i VŠ studenti 3. ročníků. Celkem výzkumem prošlo 346 respondentů.

Výsledky výzkumu Zpracovávám do tabulek podle jednotlivých stupňů škol (MŠ, ZŠ, SŠ, VŠ), každou úlohu zvlášť; uvádím absolutní i relativní četnost (procenta zaokrouhlena na jednotky).

Mateřská škola - 1. úloha U dětí čtyř a pětiletých převažovalo řešení odhadem (87% a 72 %), z dětí šestiletých řešilo úlohu 50 % odhadem, 50 % počítáním prvků po jedné.

Mateřská škola - 2. úloha Výsledky byly podobné jako v první úloze: většina dětí čtyř a pětiletých řešila úlohu odhadem, polovina dětí šestiletých počítáním po 1, druhá polovina odhadem.

Základní škola - 1. úloha Zde je vidět výrazný nárůst četnosti řešení počítáním prvků po jedné (v každém zkoumaném ročníku tento postup použilo minimálně 85% respondentů), porovnávalo průměrně 8 % respondentů a odhadem řešilo úlohu vždy jen minimum žáků.

Základní škola - 2. úloha V této úloze počítalo prvky průměrně dokonce 94% respondentů, zatímco výsledek odhadly jen 4 % žáků a porovnávaly dokonce jen 2 % respondentů. Ve 2. třídě se nenašel nikdo, kdo by porovnával prvky a ve 4. třídě nikdo neodhadoval výsledek.

Střední škola - 1. úloha Na středních školách byl patrnější vzrůst procent zachycujících četnost řešení porovnáváním prvků (22%), dokonce i (i když méně) četnost řešení odhadem (8%). Stále však převažuje řešení počítáním prvků po jedné (70%).

Střední škola - 2. úloha Druhou úlohu řešilo počítáním po jedné dokonce 80% respondentů. Prvky porovnávalo pak už jen 11% a odhadem řešilo úlohu 9 % respondentů.

Vysoká škola - 1. úloha Tuto úlohu řešilo počítáním po jedné jen 44 % studentů vysoké školy. Stejné množství řešilo úlohu porovnáváním, odhadovalo zbylých 12 % respondentů. Poněvadž však za kardinální přístup považujeme i porovnávání prvků i odhad, použilo kardinální přístup celkem 56 % respondentů.

Vysoká škola - 2. úloha Druhou úlohu řešilo počítáním prvků po jedné už jen 20% respondentů. Kardinální přístup tedy použilo dokonce 80 % respondentů (z toho 72 % porovnávalo, zbylých 8 % výsledek odhadlo).

Porovnání výsledků s výsledky Eisenmannova výzkumu K porovnání jsem použila výsledky Eisenmannova výzkumu uvedené v knize Cesty (k) poznání v matematice primární školy, Olomouc 2004 (str. 77 – 81). Výsledky z jednotlivých tabulek jsem pro větší přehlednost přepočítala tak, aby výsledek odpovídal vždy celému jednomu školskému stupni. V tabulce uvádím už jen relativní četnosti, opět zaokrouhlené na jednotky. V každém školském stupni jsou zřetelné rozdíly, někdy dost výrazné.

Rozdíly mezi výzkumy - 1. úloha

Rozdíly mezi výzkumy - 2. úloha

Ověření hypotéz Na základě výsledků výzkumu je zřejmé, že hypotézy H1 a H2 byly potvrzeny. Opravdu je vidět výrazný nárůst užívání kardinálního přístupu v mateřských školách (a to hlavně u dětí čtyřletých a pětiletých) i u studentů vysoké školy studujících matematické předměty. U ostatních věkových kategorií značně převažuje ordinální řešení úloh. Ovšem hypotézu číslo tři výsledky výzkumu nepotvrdily. V každém školském stupni jsou vidět určité rozdíly, mnohdy dosti výrazné.