OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY

Obsah Historická poznámka Úloha na volný extrém Úloha na vázaný extrém Optimalizační úloha Klasifikace optimalizačních úloh Možnosti řešení optimalizačních úloh

Historická poznámka Nalezení extrému funkce pomocí metod matematické analýzy - derivace atd. Praktické aplikace - omezení definičního oboru funkce

kde Df je definiční obor funkce f(x). Úloha na volný extrém min f(x)  x  Df  kde Df je definiční obor funkce f(x). minimální hodnota funkce na celém definičním oboru

Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

Květák a kedlubny Úloha na volný extrém Extrém Funkce nákladů x1 výměra květáku (ar) x2 výměra kedluben (ar) Náklady f(x) = 3500 + 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2 Kritérium f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 - 4x2  min Extrém x1 = 6, x2 = 2

Úloha na vázaný extrém min f(x)  x  M  M= x  q(x) =0  úloha nalezení extrému funkce podél křivky q(x)=0 Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + uT.q(x)

Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. Květák chce pěstovat na 8 arech. Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

L(x1, x2, u) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2 + u (x1 – 8) Květák a kedlubny Úloha na vázaný extrém Funkce nákladů x1 výměra květáku (ar) x2 výměra kedluben (ar) Kritérium f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2  min Křivka q(x) = x1 – 8 = 0 Řešení Lagrangeova funkce L(x1, x2, u) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2 + u (x1 – 8) Extrém x1 = 8 a pak x2 = 20

Optimalizační úloha min f(x)  qi(x)  0 , i = 1, ..., m , xT=(x1, x2, ..., xn)T  Rn , f(x) a qi (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru Rn.

Květák a kedlubny Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák lze využít alespoň 8 arů. Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N1 = 0,25 x12-3x1, u kedluben zhruba podle funkce N2 = x22-4x2, kde x1,2 jsou výměry plodin. Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

Optimalizační úloha Základní prvky optimalizačního modelu proměnné - procesy omezující podmínky kriteriální - účelová funkce Základní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optimální řešení

Květák a kedlubny Model optimalizační úlohy Proměnné x1 výměra květáku (ar) x2 výměra kedluben (ar) Omezující podmínky q1 (x) = x1 + x2 - 35  0 celková výměra q2 (x) = x1 – 8  0 výměra květáku Kritérium f(x) = 0,25x12 - 3x1 + x22 – 4x2  min

Květák a kedlubny Řešení v Excelu, modul Řešitel Proměnné x Parametry omezujících podmínek q(x) < = > Parametry kriteriální fce f(x)  min

Květák a kedlubny Řešení v Excelu, modul Řešitel

Klasifikace optimalizačních úloh Z hlediska počtu kritérií jednokriteriální optimalizační model, vícekriteriální optimalizační model. Z hlediska typu kritéria minimalizační model f(x)  MIN maximalizační model f(x)  MAX cílový model dosažení cíle f(x) = h Podle typu použitých funkcí lineární optimalizační model nelineární optimalizační model konvexní model - kvadratický konvexní model nekonvexní model.

Možnosti řešení optimalizačních úloh Nalezení vektoru x splňujícího omezující podmínky qi(x)  0 , i = 1, ..., m Nalezení minimální hodnoty účelové funkce f(x). Grafický přístup Analytické metody Numerické metody

Nalezení přípustného řešení Problém - nekonvexnost množiny přípustných řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, jak najít to optimální.

Nalezení extrému účelové funkce Problém - nekonvexnost účelové funkce - lokální a globální extrémy. Kterým směrem postupovat k optimálnímu řešení?

L(xopt, u)  L(xopt, uopt)  L(x, uopt) Analytické metody Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + uT.q(x) Sedlový bod L(xopt, u)  L(xopt, uopt)  L(x, uopt) Kuhn-Tuckerovy podmínky - vlastnosti sedlového bodu Wolfeho algoritmus pro řešení kvadratických optimalizačních úloh

min f(x) + pk(x)  x  Rn  Numerické metody Gradientní metody xk+1 = xk + k.sk Penalizační a bariérové metody min f(x) + pk(x)  x  Rn  Heuristické metody metoda TOP TWENTY