Pythagorova věta a její odvození VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.03 Pythagorova věta a její odvození Anotace: Žáci si zopakují základní vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku a postupně odvozují Pythagorovu větu. Na základě cvičení v prezentaci sami žáci rýsují, počítají a tak si osvojují platnost Pythagorovy věty. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný výstup: Provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu. Druh učebního materiálu: Prezentace Cílová skupina: Žák Stupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní škola Datum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok 2011-2012 Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Osmý ročník základní školy

PYTHAGOROVA VĚTA Věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině i v prostoru.

Pravoúhlý trojúhelník - pojmy pravý úhel C odvěsna odvěsna a b c A B přepona

Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník máme shodné čtverce úhlopříčky čtverců nám dají rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky 1 2 3 4 čtverec nad odvěsnou 2 čtverec nad odvěsnou 1 3 čtverec nad přeponou 4 Očíslujeme shodné trojúhelníky. Vidíme, že čtverce nad oběma odvěsnami jsou složeny ze shodných trojúhelníků 1, 2, 3, 4. Čtverec nad přeponou je složen ze shodných trojúhelníků 1, 2, 3, 4. Co z toho plyne?

Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník Je zřejmé, že čtverec nad přeponou je složen ze čtyř trojúhelníků. Ze stejných čtyř trojúhelníků je složen čtverec nad přeponou. 1 2 3 4 2 Z toho plyne, že velký čtverec nad přeponou je složen z obou menších čtverců nad oběma odvěsnami. 1 3 4 Co z toho dále plyne?

Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník Obsah čtverce nad přeponou je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. 1 2 3 4 2 1 3 4 V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. = Pythagorova věta

Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník Ukázali jsme si, že Pythagorova věta platí pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. 1 2 3 4 2 Ukážeme si, zda platí Pythagorova věta i pro jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník. 1 3 4

Pythagorova věta obecný pravoúhlý trojúhelník D b b a Druhý čtverec je rozdělen na: 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a, b dva čtverce s obsahy a2 a b2 První čtverec je rozdělen na: 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC s odvěsnami délek a, b čtyřúhelník ADEB se stranou délky c 3 2 úhel EBA je pravý, protože platí |EBA| = 180°- (a+b) = 90° totéž platí pro jeho zbývající úhly  čtyřúhelník ADEB je čtverec s obsahem c2 2 a b a2 c a c 4 a A b c2 a E 3 a c c b2 b b b a 1 4 1 b b a C a b B b Shodně očíslované pravoúhlé trojúhelníky na obou obrázcích mají sobě rovné obsahy. Po jejich odstranění zbudou jen žluté čtverce, pro jejichž obsahy platí: c2 = a2 + b2 Oba čtverce jsou shodné – délky stran jsou a+b, čtverce mají stejný obsah.

Pythagorova věta V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. c2 = a2 + b2

Pythagorova věta c2 = 25 cm2 a2= 9 cm2 b2 = 16 cm2 Narýsuj pravoúhlý trojúhelník ABC: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm Narýsuj nad odvěsnami i přeponou čtverec. Spočítáme obsahy jednotlivých čtverců. c = 5 cm C B A a = 3 cm b = 4 cm • c2 = 25 cm2 Čeho jste si všimli? V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. a2= 9 cm2 c2 = a2 + b2 25 = 9 + 16 25 = 25 b2 = 16 cm2