Množiny Přirozená čísla Celá čísla Racionální čísla Komplexní čísla Množiny čísel Množiny Přirozená čísla Celá čísla Racionální čísla Komplexní čísla

Množiny Množina je soubor libovolných navzájem různých objektů, které tvoří celek. Prvek množiny = každý objekt, který patří do množiny. Označení množiny: A, B, C, ... Prvek a patří do množiny A: aA Prvek b nepatří do množiny A: bA Prázdná množina: 

Zadání množiny Nejčastější způsoby zadání: Výčet prvků: M = a, b, c, ... Slovy: „množina M s prvky a, b, c, ...“ Charakteristická vlastnost: M = xU; V(x) Slovy: „množina M je množinou všech x z množiny U, pro která platí vlastnost V(x)“

Množinové vztahy Množina A je podmnožinou množiny B (inkluze) AB = x; xA # xB  Př.: A = a, b, f, g, h B = a, b, c, d, f, g, h, x, y, z Množiny A, B se rovnají: A = B ^ AB # AB

Množinové operace Průnik množin Př.: A = -3,0,1,2 AB = x; xA # xB  Př.: A = -3,0,1,2 B = -5,-4,-1,0,2,4 AB = 0,2 Sjednocení množin AB = x; xA $ xB  AB = -5,-4,-3,-1,0,1,2,4

Množinové operace Rozdíl množin Doplněk množiny A (v množině B) A – B = x; x A # x  B  Př.: A = -3,0,1,2 B = -5,-4,-1,0,2,4 A – B = -3,1 Doplněk množiny A (v množině B) A´ (AB)= x; x B # x  A  = B - A Př. A = -3,0,1,2 A´ = B – A = -5,-4,-1,4

Číselné obory

Početní operace s čísly Základní početní operace: sčítání, násobení Inverzní operace: odečítání, dělení

Zákony sčítání a násobení Komutativní zákon a + b = b + a a.b = b.a Asociativní zákon (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) Distributivní zákon (a + b).c = ac + bc

Zákony sčítání a násobení Pro každé reálné číslo existuje právě jedno číslo 0. a + 0 = 0 + a = a Pro každé reálné číslo existuje právě jedno číslo 1. a.1 = 1.a = 1 Opačné číslo k číslu a: a + (-a) = 0

Přirozená čísla Značení N Prvky: 1, 2, 3, 4,... N0 = 0,1,2,3,...

Prvočísla Prvočísla jsou čísla dělitelná pouze 1 a sama sebou.

Rozklad na prvočísla: Př. Rozložte číslo 250 na prvočísla 250 = 2.5.5.5 = 2.53 250  50 5 10 5 2 5 1 2

Dělitelnost přirozených čísel Číslo je dělitelné: 2, jestliže má na místě jednotek jednu z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8. (Jestliže je sudé.) 3, jestliže ciferný součet tohoto čísla je dělitelný třemi. 4, jestliže jeho poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi. 5, jestliže má na místě jednotek číslici 0 nebo 5. 6, jestliže je dělitelné třemi a zároveň dvěma. 8, jestliže jeho poslední trojčíslí je dělitelné osmi. 9, jestliže ciferný součet tohoto čísla je dělitelný devíti. 10, jestliže má na místě jednotek číslici 0.

Společný násobek a dělitel Nejmenší společný násobek (n) čísel a, b je číslo n, které pokud vydělíme číslem a i b, výsledek bude bez zbytku. n/a = x n/b = y Největší společný dělitel (D) čísel a, b je číslo D, kterým lze obě čísla a i b vydělit bez zbytku. a/D = k b/D = l

Zjistěte nejmenší společný násobek a největší společný dělitel čísel: 66  56  Př. 66,54 Nejdříve čísla rozložíme na prvočísla Napíšeme si součin prvočísel pod sebe tak, aby stejné číslice byly pod sebou (vznikne pyramida): 66 = 2.3.11 56 = 2. .2.2.7 n(66,56) = 2.3.11.2.2.7 D(66,56) = 2 22 3 8 7 11 2 4 2 1 11 2 2 1 2

Celá čísla Značení: Z Obsahuje množinu N Prvky: ...-3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4,... Nezáporná celá čísla: Kladná celá čísla: Záporná celá čísla:

Racionální čísla Značení: Z Prvky ve tvaru , kde pZ a q N. Možno vyjádřit ve tvaru desetinného čísla. Obsahuje množinu N a Z. Zlomek v základním tvaru p, q nesoudělná Rozšířený zlomek p, q soudělná (zlomek se dá zkrátit) Smíšené číslo: Složený zlomek:

Operace se zlomky Sčítání Odčítání Násobení Dělení

Reálná čísla Značení: Z Obsahuje množinu N, Z a Q.

Absolutní hodnota Pro každé absolutní číslo a platí: pro a  0 je |a| = a pro a  0 je |a| = - a

Intervaly Interval je každá množina reálných čísel, jejichž obrazy na číselné ose vyplňují souvislou podmnožinu. Libovolný bod intervalu, který není krajním bodem, se nazývá vnitřním bodem intervalu. Krajní body intervalu se nazývají meze intervalu (horní a dolní mez).

Typy intervalů Uzavřený interval Otevřený interval a;b Otevřený interval (a;b) Polouzavřený interval (a;b a;b) Neomezený interval a;), (a;) (- ;b, (- ;b) a b a b a b a b a b a b

Mocniny a odmocniny

Mocniny s přirozeným exponentem n - krát Operace s mocninami

Mocniny s celým exponentem Vzorce pro počítání s mocninami

Mocniny s racionálním exponentem Vzorce pro počítání s mocninami

Mocniny s reálným exponentem Vzorce pro počítání s mocninami

Komplexní čísla

Definice komplexního čísla Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel, pro něž se zavádí početní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Značení: z = [x, y]: x,y R x = reálná složka reálného čísla (Re z) y = imaginární složka reálného čísla (Im z)

Geometrické znázornění komplexního čísla v Gaussově rovině y Re z = x Im z = y |z|

Operace s komplexními čísly z1 + z2 = [x1 + x2 ; y1 + y2 ] z1 - z2 = [x1 - x2 ; y1 - y2 ] z1 . z2 = [x1 . x2 ; y1 . y2 ] Algebraický tvar komplexního čísla z = x + yi Operace: z1 + z2 = (x1 + y1i ) + (x2 + y2i) = x1 + x2 + ( y1 + y2) i z1 - z2 = (x1 + y1i ) - (x2 + y2i) = x1 - x2 + ( y1 - y2) i z1 . z2 = (x1 + y1i ) . (x2 + y2i) = x1 . x2 + ( y1 . y2) i

Číslo komplexně sdružené Číslo komplexně sdružené k číslu z = x + yi je Číslo opačné k číslu z = x + yi je

Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnota reálného čísla z = x + yi je číslo Geometrický význam absolutní hodnoty: V Gaussově rovině představuje |z| vzdálestno obrazu komplexního čísla od počátku x y Re z = x Im z = y |z|

Goniometrický tvar komplexního čísla z = |z|(cos + i.sin );  - argument komplexního čísla Moivrova věta

Konec