1. ročník S O U GONIOMETRICKÉ FUNKCE PDF Poznámky pro žáky se SPU TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR 1. ročník S O U GONIOMETRICKÉ FUNKCE PDF Poznámky pro žáky se SPU Milan Hanuš, hanusm@sos-souhtyn.cz

Goniometrie [řec. góniá – úhel, metrein – měřit] je nauka o úhlech a jejich vzájemných vztazích. Goniometrické funkce jsou funkce sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu, kotangens úhlu, méně užívané sekans úhlu a kosekans úhlu. Goniometrické funkce pro úhel mezi 0° a 90° se definují jako podíl příslušných stran pravoúhlého trojúhelníka, pro větší úhly pak pomocí jednotkové kružnice – kružnice o středu v počátku a jednotkovém poloměru. Df = (-∞; +∞) pro sinus úhlu a kosinus úhlu, Df = R – 90°(2k - 1); k N pro tangens úhlu a kotangens úhlu Hf = (-1; +1) pro sinus úhlu a kosinus úhlu, Hf = (-∞; +∞) pro tangens úhlu a kotangens úhlu

Goniometrické funkce úhlů do 90° Vlastnosti goniometrických funkcí γ b a β β α α c c A A B B γ α β + = = 90°; a, b jsou odvěsny; c je přepona pravoúhlého trojúhelníka ABC α α cotgα = tgβ cotgα = 1/tgα sin = a/c cos = b/c cos = a/c tg = a/b tg = b/a α β β sin = b/c β Vlastnosti goniometrických funkcí Mezi goniometrickými funkcemi úhlů platí vztahy: sin2α + cos2α = 1; cosα = sin(90° – α); tgα = sinα /cosα

Výpočet hodnot goniometrických funkcí Určete pomocí kalkulačky hodnotu goniometrické funkce pro úhel 42°23´45´´. sin 42°23´45´´ = Ad 1) jednoduché kalk.: 42+23:60+45:3600= sin výsledek Ad 2) vědecké kalk.: sin 42 DMS 23 DMS 45 DMS = výsledek Před zahájením výpočtu je třeba: a) nastavení komunikace s kalkulátorem ve stupních – Deg = stupně (celý kruh je dělen na 360 dílků – stupňů); - Rad = radiány (celý kruh je dělen na 2π dílků – radiánů) a - Grad = dělostřelecké dílce (pravý úhel je dělen na 100 dílků – děl. dílců). b) poznání kalkulačky (nejlépe z manuálu). Kalkulačky lze rozdělit na dva typy: 1) jednoduché – nejdříve zadat úhel, pak tl. sin a na displeji se zjeví výsledek. Postup zadání obvykle nezobrazují. 2) vědecké – nejdříve zvolit funkci, pak zadat velikost úhlu a tlačítko =. (Zadáváme, jak je zapsáno.) Při zjišťování hodnot ostatních funkcí kosinus, tangens a kotangens postupujeme obdobně. Kalkulačka

Výpočet velikosti úhlu z hodnot goniometrických funkcí Určete velikost úhlu α, jestliže platí, že sinα = 0,3 α (0°; 90°) Ad 1) jednoduché kalk.: 0,3 Shift (2ndF, F) sin výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecké kalk.: Shift sin 0,3 = výsledek Shift DMS (převod na stupně, minuty a vteřiny) se zaměřuje na rozvojovou pomoc méně vyspělým regionům EU Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Počítáme velikost úhlu Goniometrické funkce k řešení pravoúhlého trojúhelníka využijeme tehdy, když: počítáme velikost ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníka ze zadaných stran je zadána velikost ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníka Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |a| = 6m; |c| = 12m. Vypočtěte velikost obou ostrých úhlů pomocí goniometrických funkcí. C 6m Věta Ssu α β 12m A B β = ?; Známe přeponu a přilehlou odvěsnu a proto použijeme cosβ. α α =? Známe přeponu a protilehlou odvěsnu a proto použijeme k výpočtu úhlu funkci sinus úhlu . α Ad 1) jednoduchá kalk.: 6 : 12 = Shift cos výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecká kalk.: Shift cos (6 : 12) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny Shift DMS) Ad 1) jednoduchá kalk.: 6 : 12 = Shift sin výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecká kalk.: Shift sin (6 : 12) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny Shift DMS) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Počítáme velikost úhlu Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku KLM je |LM| = 5m a |MK| = 7m. Určete oba ostré úhly M 5m 7m Věta sus K L Velikost úhlu KLM= ? Velikost úhlu MKL= ? Platí: tg∠MKL = |ML| / |MK| = 5/7 Ad 1) jednoduchá kalk.: 5 : 7 = Shift tan výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecká kalk.: Shift tan ( 5 : 7) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Jsou dány obě odvěsny a proto použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu. Platí: tg∠KLM = |MK| / |ML| = 7/5 Ad 1) jednoduchá kalk.: 7 : 5 = Shift tan výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Ad 2) vědecká kalk.: Shift tan ( 7 : 5) = výsledek (převod na stupně, minuty a vteřiny) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Výpočet délky strany Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |a| = 5m a |∠ABC| = 30°25´. Vypočtěte pomocí goniometrických funkcí zbývající dvě strany. C C C C 5m 5m 5m 5m Věta usu 30°25´ 30°25´ 30°25´ 30°25´ |AC| = ? Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme protilehlou odvěsnu, tak použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu |AC| = ? Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme protilehlou odvěsnu, tak použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu |AC| = ? Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme protilehlou odvěsnu, tak použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu |AC| = ? Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme protilehlou odvěsnu, tak použijeme goniometrickou funkci tangens úhlu |AB| = ? Protože známe ostrý úhel, přilehlou odvěsnu a počítáme přeponu, tak použijeme goniometrickou funkci kosinus úhlu. B A Platí: cos 30°25´ = 5/ |AB| |* |AB| |AB|* cos 30°25´= 5 |: cos 30°25´ |AB| = 5/ cos 30°25´ Na jednoduché kalk.: 5 : (30+25:60=cos)= výsledek Platí: tg30°25´ = |AC| / 5 |*5 5 * tg30°25´ = |AC| Na jednoduché kalk.: 30 + 25 : 60 = tan * 5 = výsledek Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Počítáme velikost strany Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku ABC je |c| = 8m a |∠ABC| = 30°25´16´´ . Vypočtěte pomocí goniometrických funkcí zbývající dvě strany. C b a 30°25´16´´ B A 8m a = ? b = ? Když známe velikost přepony a ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku, použijeme k vý-počtu přilehlé odvěsny goniometrickou funkci kosinus úhlu. Když známe délku přepony a velikost protilehlého úhlu pravoúhlého trojúhelníka, využijeme k výpočtu délky protilehlé odvěsny funkci sinus úhlu. Platí: cos 30°25´16´´ = a / 8 |* 8 8 * cos 30°25´16´´ = a Platí: sin 30°25´16´´ = b / 8 |* 8 8 * sin 30°25´16´´ = b Na jednodušší kalkulačce: 30 + 25:60 + 16:3600 = cos * 8 = výsledek Na jednodušší kalkulačce: 30 + 25:60 + 16:3600 = sin * 8 = výsledek Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka Nájezdová plošina na vůz vysoký 1,1m je 4m dlouhá. Kolik m bude přesahovat, když maximální úhel nájezdu musí být menší než 20°? x 4m 1,1m α B Postup: y Nejdříve nalezneme pravoúhlý trojúhelník ABC 1,1m 20° C A K výpočtu délky nájezdu k okraji vozu y použijeme goniometrickou funkci sin20° Platí: sin20° = 1,1 / y |* y y * sin20° = 1,1 |: sin20° y = 1,1 : sin20° y = 3,3 x ≤ 4 – y; x (0; 0,7) Kalkulačka

Užití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka x Pravidelná sedlová střecha musí mít sklon nejméně 33°. Jak dlouhé potřebujeme krokve nad domem s rozponem 6m, je-li jejich přesah 0,8m? v 33° 6m 3m Nejdříve nalezneme pravoúhlý trojúhelník ABC K výpočtu délky krokve nad půdou x použijeme goniometrickou funkci cos33° Platí: cos33° = 3 / x |* x x * cos33° = 3 |: cos33° x = 3 : cos33° x = 3,6 m Jak vysoká bude Vámi navržená sedlová střecha? Kalkulačka

K o n e c Podpora politiky zaměstnanosti a vzdělávání TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR K o n e c Podpora politiky zaměstnanosti a vzdělávání