Interpretovaná Matematika logaritmy

Funkce Funkce je: Zobrazení (mapping) Množina (set) y x Funkce je: Zobrazení (mapping) Množina (set) Vztah, závislost (relationship) Může být zadána: Výčtem Vlastností

Definice dalsich vlastností Pr. 1 . Pr. 2 pak

Definice logaritmu (vlastností) Říkáme, že funkce f splňuje logaritmickou podmínku když . To lze taky vyjádřit buď jako , nebo , nebo .

K čemu je to vlastně dobré Notoricky známý příklad z technické praxe: Log pravítko Př. 1 10 100 1,000 10,000 100,000 10 100 1,000 10,000 100,000 Př. 2 10 100 1,000 10,000 100,000 10 100 1,000 10,000 100,000

K čemu je to vlastně dobré Méně známý příklad, který má co dělat s biologií: Míra Informace Množství informace, které říká nějaká věta závisí na tom, kolik různých vět můžu říct. 2 4 8 16 1 11 10 01 00 111 110 101 100 011 010 001 000 1111 1110 1101 1100 1011 1010 1001 1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001 0000 Každý znak zvětšil množství informace dvakrát. My ale chceme aditivní míru, ptáme se tedy o kolik zvětšil každý znak informaci. Inu tak uděláme z násobení sčítání, a k tomu se výborně hodí logaritmus. Např.

K čemu je to vlastně dobré Diversita se někdy udává jako míra informace, např jako Shannonova informace. - počet druhů; - počet všech jedinců; - počet jedinců druhu i

K čemu je to vlastně dobré Nebo ... , ale o tom až později.

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: Pro všechna a platí . důkaz: , tudíž . ?

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: Pro všechna a platí . důkaz: , tudíž . ?

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: Pro všechna a platí . důkaz: , tudíž . ?

Vlastnosti logaritmu To byl prosím tzv důkaz úplnou indukcí.

Vlastnosti logaritmu xf(b) 1 bx

Vlastnosti logaritmu b nazveme basi logaritmu a definujeme ji f(b)=1 Co když: x 1 1 b bx

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz: Nechť . Pak .

Vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz: srovnej: Nechť . Pak . Pak .

je jednoznačně určena svojí basí. Vlastnosti logaritmu Logaritmická funkce je jednoznačně určena svojí basí. y 1 x b1 b2 b3 1

Definice logaritmu Funkci , která zobrazuje interval na množinu reálných čísel, a říkáme logaritmus s basí b a většinou ji značíme . . Nejčastěji používané logaritmy jsou: dekadický s basí 10, dvojkový a přirozený s basí .

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Další vlastnosti logaritmu Tvrzení: důkaz:

Vlastnosti logaritmu Teď chvilku přemýšlejte a pak se ptejte.

Cvičení Př. 1 Dokažte z definice logaritmické fce., že pro libovolnou basi.

Cvičení Př. 1 Dokažte z definice logaritmické fce., že Řešení pro libovolnou basi. Řešení

Cvičení Př. 2 Spočtěte . .

Cvičení Př. 2 Spočtěte . Řešení .

Cvičení Př. 3 Spočtěte . Řešení .

Cvičení Př. 3 Spočtěte . Řešení .

Cvičení Př. 4 Co je to za osu? 0 0.1 1 10 100 1000 10000 Řešení

Cvičení Př. 5 Co je to za osu? 4 8 16 32 64 128 256 Řešení

Cvičení Př. 4 Co je to za osu? 0 .1 0.5 1 5 10 Řešení

Cvičení Př. 6 Log x x 1 2 3 4 Dopočtěte tabulku . Řešení

Cvičení 1(nezávisí na basi) 10 100 Př. 6 1000 10000 Log x x 1(nezávisí na basi) 1 10 2 100 3 1000 4 10000 . nebo Log3 x x 1(nezávisí na basi) 1 3 2 9 27 4 81

Cvičení Př. 7 Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, s přesností na jednu desetinu.

Cvičení Př. 7 Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, s přesností na jednu desetinu. Řešení

Cvičení Př. 8 Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, s přesností na jednu desetinu.

Cvičení Př. 8 Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, s přesností na jednu desetinu.

Cvičení Př. 8 Určete, aniž byste použili logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, s přesností na jednu desetinu. Řešení

Cvičení Př. 9 Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, .

Cvičení Př. 9 Určete, za pomoci logaritmické funkce na kalkulátoru, nebo v excelu, . Řešení

Cvičení Př. 10 Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je roven 11.1, určete jeho dekadický logaritmus, aniž byste toto číslo odlogaritmovali. .

Cvičení Př. 10 Víte-li, že přirozený logaritmus nějakého čísla je roven 11.1, určete jeho dekadický logaritmus, aniž byste toto číslo odlogaritmovali. . Řešení nebo

Cvičení Př. 11 Převeďte mocninu . na mocninu Eulerova čísla.

Cvičení Př. 11 Převeďte mocninu . na mocninu Eulerova čísla. Řešení

Cvičení Př. 12 Převeďte mocninu . na mocninu 10. Řešení

Cvičení Př. 13 .

Cvičení Př. 13 . Řešení Ad a) Ad b) Alternativně

Cvičení Př. 13.1 Recenze pro AmNat .

Cvičení Př. 14 . 19. .

Cvičení Př. 14 . 19. . Řešení , , , a . .

Cvičení Př. 15 Převeďte mocninu . na mocninu Eulerova čísla.

Cvičení Př. 15 Převeďte mocninu . na mocninu Eulerova čísla. Řešení

Cvičení dotazy

Co byste si tak mohli pamatovat Funkce bývají ztělesněné vlastnosti. Když nevím co dál, tak dosadím za x , nebo ; ono se uvidí. 3. .

Logaritmické transformace aritmetická osa logaritmická osa

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace

Log transformace