Pojem FUNKCE v matematice definice základní pojmy vlastnosti Mgr. Vladimír Wasyliw

Definice Každé zobrazení množiny reálných čísel A na množinu reálných čísel B nazýváme funkce Funkcí tedy rozumíme předpis, který každému prvku z množiny A přiřazuje právě jeden prvek z množiny B

Označení Funkce označujeme malými písmeny (nejčastěji f, g, h…) Prvky množiny A nazýváme proměnné a označujeme x Prvky množiny B nazýváme funkční hodnoty a označujeme y Funkci jedné proměnné pak zapisujeme ve tvaru y = f(x)

Definiční obor, obor hodnot Množinu A (množinu všech prvků x) nazýváme definiční obor funkce f, označujeme D(f) Množinu všech hodnot y přiřazených prvkům x nazýváme obor hodnot funkce f, označujeme H(f)

Graf funkce Množinu všech bodů [x, y] = [x, f(x)] nazýváme grafem funkce f Můžeme jej znázornit např. v pravoúhlé soustavě souřadnic

Určení funkce Funkce je jednoznačně určena předpisem a definičním oborem Pokud definiční obor není zadán, rozumíme jím maximální možnou množinu prvků, pro které je možné daný předpis smysl Určit definiční obor znamená určit maximální množinu prvků, pro které má daný předpis smysl

Zadání funkce Nejčastější zadání funkce je funkčním předpisem a příp. definičním oborem (např. y = 3x2 + 5, y = cos x, y = 5x+2) Funkce může být také zadána přímo grafem Další možností zadání funkce je výčtem všech prvků [ x, f(x)] - např. tabulkou

Rovnost funkcí Dvě funkce f, g jsou si rovny, jestliže a/ mají totožný definiční obor D(f) = D(g) b/ pro každý bod definičního oboru mají shodné funkční hodnoty f(x) = g(x) Grafy sobě rovných funkcí jsou totožné

Sudá funkce Funkci nazýváme sudou, jestliže platí: pro každé xD(f) je také –xD(f) pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) Graf sudé funkce je souměrný podle osy y

Lichá funkce Funkci nazýváme lichou, jestliže platí: pro každé xD(f) je také –xD(f) pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic

Funkce rostoucí Funkci nazýváme rostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2  D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

Funkce neklesající Funkci nazýváme neklesající, jestliže pro každá dvě x1, x2  D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

Funkce klesající Funkci nazýváme klesající, jestliže pro každá dvě x1, x2  D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

Funkce nerostoucí Funkci nazýváme nerostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2  D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

Funkce monotónní Funkci nazveme monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající Funkci nazveme ryze monotónní, jestliže je rostoucí nebo klesající

Funkce omezená zdola Funkce je omezená zdola, jestliže existuje takové číslo d, že  x  D(f): f(x)  d

Funkce omezená shora Funkce je omezená shora, jestliže existuje takové číslo h, že  x x1: f(x)  h

Funkce omezená Funkci nazýváme omezená v definičním oboru, jestliže je současně omezená shora i zdola

Funkce prostá Funkci nazýváme prostá, jestliže pro každá dvě x1, x2  D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

Funkce periodická Funkci nazýváme periodická, jestliže existuje reálné číslo p takové, že  x  D(f): f (x  p) = f(x)